基于改進差異進化算法的有功優(yōu)化仿真研究

陳功貴，陸正媚，劉 耀，孫 智

(1.重慶郵電大學 自動化學院，重慶 400065；2.重慶市教育科學研究院高等教育研究所，重慶 400015；3.國電恩施水電開發(fā)有限公司，湖北 恩施 445000)

·專題討論—虛擬仿真實驗(50)·

基于改進差異進化算法的有功優(yōu)化仿真研究

陳功貴1，陸正媚1，劉 耀2，孫 智3

(1.重慶郵電大學 自動化學院，重慶 400065；2.重慶市教育科學研究院高等教育研究所，重慶 400015；3.國電恩施水電開發(fā)有限公司，湖北 恩施 445000)

在電力系統(tǒng)有功優(yōu)化這個復(fù)雜的全局優(yōu)化問題上，差異進化(Differential Evolution，DE)算法可以增加其種群多樣性但搜索效率低，于是在其基礎(chǔ)上提出了一種改進的差異進化算法(Improved Differential Evolution，IDE)。IDE算法保留了DE算法的三大步驟：變異、交叉以及選擇，優(yōu)化了傳統(tǒng)的變異策略，同時引入了Logistic映射改變系統(tǒng)參數(shù)，使固定取值的搜索步長和交叉算子在一定范圍內(nèi)隨機取值，以此擴大種群搜索范圍，加快收斂速度；IDE算法最后運用了考慮系統(tǒng)約束的非貪婪選擇，以確保算法在可行域里探索最優(yōu)解。為驗證算法的實用性，利用Matlab軟件，將DE和IDE算法在IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)上進行目標函數(shù)為電網(wǎng)功率損耗的有功優(yōu)化仿真。仿真結(jié)果表明，IDE算法增加了種群多樣性，加快了收斂速度并且提高了搜索效率。通過此次仿真，加深了學生對電力系統(tǒng)有功優(yōu)化以及DE算法的認識和理解，同時引導學生利用計算機技術(shù)改善算法的搜索性能并且求解優(yōu)化問題。

電力系統(tǒng)； 有功優(yōu)化； 改進差異進化算法

0 引 言

電能與國民經(jīng)濟各部門有著不可分割的聯(lián)系，因此提高電能質(zhì)量具有非常重要的理論和現(xiàn)實意義。在電力系統(tǒng)優(yōu)化運行的早期研究中，科學家們只局限于系統(tǒng)的經(jīng)濟調(diào)度。經(jīng)研究表明，此方法不能全面地考慮安全約束使系統(tǒng)安全運行。針對該問題，有學者提出最優(yōu)潮流(Optimal Power Flow，簡稱OPF)問題[1-3]。當前在電力系統(tǒng)規(guī)劃和運行中得到廣泛研究的是僅考慮靜態(tài)約束的常規(guī)最優(yōu)潮流，這是一種最簡單的形式。按照控制方式的不同，電力系統(tǒng)潮流優(yōu)化分為有功優(yōu)化和無功優(yōu)化[4]。有功優(yōu)化是一個多變量、多約束、非線性、計算規(guī)模大且同時具有連續(xù)型和離散型變量的問題，其優(yōu)化目標可以是發(fā)電費用最小，有功網(wǎng)損最小，廢氣排放量最小等[5]，由于數(shù)學模型復(fù)雜，約束條件多，研究者們在這一領(lǐng)域進行了大量研究，除了提出目標函數(shù)和約束條件不同處理的數(shù)學模型外，更多的是從改善算法的搜索性能，提高收斂速度等目的出發(fā)，引入各種智能優(yōu)化算法[6-8]。

1997年，Rainer Storn與Kenneth Price在GA的基礎(chǔ)上提出差異進化算法(Differential Evolution，DE)[9]。DE算法也是模擬生物進化論的一種隨機模型，基于種群中所有個體間的差異形成前進方向，隨機交叉產(chǎn)生新個體并且使用貪婪選擇機制選擇優(yōu)秀個體進入下一代，進而實現(xiàn)種群進化；但在算法迭代后期，個體間的差異程度逐代減少，這勢必影響群體多樣性的增加，容易陷入局部最優(yōu)，此外，DE算法具有3個主要的控制參數(shù)：種群大小、搜索步長以及交叉算子[10]。

本文提出了一種改進的差異進化算法(Improved Differential Evolution，IDE)，在DE算法的基礎(chǔ)上，優(yōu)化了差異策略和選擇方式，并引入Logistic映射改變系統(tǒng)參數(shù)。為了驗證算法的實用性和高效性，利用Matlab軟件[11-12]，將DE和IDE算法在IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)上分別進行15次電力系統(tǒng)有功優(yōu)化仿真。該測試系統(tǒng)包含41條支路，21個負荷節(jié)點，6臺發(fā)電機，4臺變壓器和9臺無功補償裝置，具體數(shù)據(jù)見文獻[13]。仿真結(jié)果表明，IDE算法比DE算法具有更強的全局搜索能力與收斂效果。Matlab仿真結(jié)果中包含大量的實驗數(shù)據(jù)和仿真圖形[14]，不僅使學生能更牢固地掌握電力系統(tǒng)有功優(yōu)化的模型及優(yōu)化過程，還能加強學生利用仿真技術(shù)對智能算法進行應(yīng)用研究。

1 電力系統(tǒng)有功優(yōu)化數(shù)學模型

電力系統(tǒng)有功優(yōu)化是通過調(diào)節(jié)發(fā)電機的有功功率輸出、發(fā)電機端電壓幅值、變壓器的分接頭選擇以及無功補償器的無功投切，來調(diào)整有功潮流，使系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生變化，并使狀態(tài)變量在規(guī)定的限值內(nèi)，同時使電網(wǎng)的某一指標實現(xiàn)最優(yōu)，以達到提高電網(wǎng)安全、穩(wěn)定和經(jīng)濟性的目的。

在滿足等式約束條件

g(x,u)=0

(1)

以及不等式約束條件

h(x,u)≤0

(2)

的情況下，使以下目標函數(shù)為最優(yōu)

F=F(x,u)

(3)

式中：x為控制變量，u為狀態(tài)變量。

1.1控制變量

有功優(yōu)化的控制變量包括有功功率輸出PG、發(fā)電機端電壓幅值UG、變壓器的分接頭選擇T以及無功補償器的無功投切QC，可以表示為：

uT=[PG2，…，PGNG,UG1，…，UGNG,

T1，…，TNT,QC1，…，QCNC]

(4)

式中：NG為發(fā)電機數(shù)；NT為變壓器數(shù)；NC為無功補償器數(shù)；PG1為平衡節(jié)點有功功率輸出，故屬于狀態(tài)變量。

1.2狀態(tài)變量

有功優(yōu)化的狀態(tài)變量包括平衡節(jié)點有功功率輸出PG1、負荷節(jié)點電壓有效值UL、發(fā)電機的無功功率輸出QG以及各支路視在功率Sl?？梢员硎緸椋?/p>

(5)

式中：NL為負荷節(jié)點數(shù)，NTL為支路數(shù)。

1.3等式約束

等式約束條件也就是每個節(jié)點都功率平衡：

(6)

式中：Ni為和節(jié)點i相連的節(jié)點數(shù)(包括節(jié)點i)；N表示所有節(jié)點數(shù)(平衡節(jié)點除外)；NPQ是PQ節(jié)點數(shù)；PGi和QGi分別表示發(fā)電機節(jié)點i的有功出力和無功出力；PLi和QLi分別表示負荷節(jié)點i的有功功率和無功功率；δij=δi-δj為節(jié)點i、j間的電壓相角差；Ui為節(jié)點i的電壓幅值；Gij為節(jié)點i、j間的電導；Bij為節(jié)點i、j間的電納；Gij和Bij分別表示Yij的實部和虛部，其中Yij為節(jié)點導納矩陣Y中第i行，第j列的元素。

1.4不等式約束

不等式約束條件包含以下幾部分：

(1) 發(fā)電機約束

UGimin≤UGi≤UGimax,i=1,2,…,NG

(7)

PGimin≤PGi≤PGimax,i=1,2,…,NG

(8)

QGimin≤QGi≤QGimax,i=1,2,…,NG

(9)

(2) 變壓器約束

Timin≤Ti≤Timax,i=1,2,…,NT

(10)

(3) 無功補償約束

QCimin≤QCi≤QCimax,i=1,2,…,NC

(11)

(4) 安全約束

ULimin≤ULi≤ULimax,i=1,2,…,NL

(12)

Sli≤Slimax,i=1,2,…,NTL

(13)

式中：NG、NT、NC、NL以及NTL分別表示發(fā)電機數(shù)、變壓器數(shù)、無功補償器數(shù)、負荷節(jié)點數(shù)以及支路數(shù)。

1.5目標函數(shù)

在本文研究中，優(yōu)化的目標函數(shù)為電網(wǎng)有功功率損耗(MW)：

(14)

式中：Gk為節(jié)點i、j之間的電導?？刂谱兞吭诮o定時就滿足系統(tǒng)約束條件，為了使狀態(tài)變量也滿足，就引入了罰系數(shù)。罰系數(shù)將懲罰超過約束的狀態(tài)變量，越限越多，其目標函數(shù)值越大，適應(yīng)度值也越差，就越容易被淘汰，其構(gòu)成的新目標函數(shù)為：

f=fLoss+Penalty

(15)

(16)

由目標函數(shù)可以看出罰系數(shù)的選擇對最終結(jié)果影響很大，若取值不當還會導致最優(yōu)解不滿足系統(tǒng)安全運行的約束。為了避免這種情況，本文中罰系數(shù)取動態(tài)值，其表達式為：

(17)

式中：KFg為各罰系數(shù)(KV、KQ、KS、KL)在第g次迭代的取值；KFmin、KFmax分別為各罰系數(shù)的最小值和最大值；gmax為最大迭代次數(shù)；g為迭代次數(shù)，在初期時罰系數(shù)的取值較小，更注重個體的目標函數(shù)值，隨著迭代次數(shù)的增加，罰系數(shù)的取值也逐漸增大，此時更注重篩選滿足安全約束的最優(yōu)個體。另外，式中Uilim、QGilim、PG1lim、SBilim是根據(jù)因變量的范圍而判定：

(18)

式中，Ximin、Ximax代表該狀態(tài)變量的最小值和最大值。

2 IDE算法

2.1IDE算法的數(shù)學模型

IDE算法的數(shù)學模型同樣包含DE算法的3個重要算子。

2.1.1變異算子

(19)

i=1,2，…,Np

式中：Np為種群個數(shù)；xr1,g、xr2,g、xr3,g為種群內(nèi)的不同向量；F為搜索步長，其值一般控制在[0,2]。原理如圖1所示，即擾亂一個待變量，使其加上經(jīng)過縮放的另外兩個不同向量的向量差。其目的是讓變異個體向最優(yōu)解靠攏。但DE算法收斂速度慢，搜索效率不高，故IDE算法提出新的變異策略：

(20)

式中：xpbest,g為當前個體中適應(yīng)度值為前P%的優(yōu)秀個體，本文研究中，p值取20。IDE算法用當前個體與優(yōu)秀個體之間的差異作為前進導向的因素，使之具有記憶特性，提高了搜索效率與收斂時間，此外還增加了擾動變量對數(shù)，避免種群多樣性下降。

圖1 差異進化算法變異算子示意圖

2.1.2交叉算子

(21)

i=1,2,…,Np;j=1,2,…,D

2.1.3選擇算子

選擇算子在探索最優(yōu)解時提升種群內(nèi)個體的適應(yīng)度，選擇對比的兩個對象為父代群體和經(jīng)過變異、交叉的中間個體。標準DE算法中，應(yīng)用一對一的貪婪選擇，選擇具有更好適應(yīng)度值的個體作為第g+1代新個體，如下式：

(22)

式中：f為目標函數(shù)；xij,g+1為經(jīng)過變異、交叉、選擇3項操作后得到的第g+1代新個體。雖然引入了罰系數(shù)使有功優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成無約束問題，但隨著節(jié)點數(shù)目的增加，罰系數(shù)也不能保證違反約束的解被合格解淘汰，于是IDE算法提出了考慮系統(tǒng)約束的非貪婪選擇策略，保障了算法在可行域里探索最優(yōu)解。非貪婪選擇策略里最重要的因素就是約束評估，其函數(shù)可表示為：

(23)

2.1.4Logistic映射

混沌現(xiàn)象有很多種形式，其中Logistic映射是由荷蘭生物學數(shù)學家Verhulstt提出[16]，其表達式為：

(24)

當μ為4時，為完全混沌。IDE算法利用完全混沌現(xiàn)象使參數(shù)F和CR由固定值變?yōu)樵谝欢ǚ秶鷥?nèi)的隨機動態(tài)值。其表達式為：

(25)

式中，g為迭代次數(shù)。為了避免Logistic映射使參數(shù)趨于某一常數(shù)，所以在初始化時F與CR不能取值0.25、0.5、0.75。

2.2IDE算法的求解步驟

IDE算法求解步驟如圖2所示。首先產(chǎn)生初始種群Np，并設(shè)定參數(shù)F、CR以及P的初始值；接著根據(jù)目標函數(shù)求解適應(yīng)度值，選取優(yōu)秀個體和全局最優(yōu)；然后算法進行迭代，首先用Logistic映射改變搜索步長F和交叉算子CR，接著種群中每個個體執(zhí)行變異、交叉以及非貪婪選擇操作，最后更新優(yōu)秀個體和全局最優(yōu)直至滿足停止條件。

圖2 IDE算法的求解步驟

3 基于Matlab的有功優(yōu)化仿真實驗

本文將IEEE30節(jié)點的標準測試系統(tǒng)[10, 13]用以測試兩種算法的有功優(yōu)化效果，測試系統(tǒng)如圖3所示。由有功優(yōu)化的數(shù)學模型可知，該仿真有24個控制變量，即種群內(nèi)每一個粒子為24維列向量。仿真開始前，DE和IDE算法的初始參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 兩種算法初始參數(shù)設(shè)定

表中：Np為種群大?。籫max為最大迭代次數(shù)；G為優(yōu)化次數(shù)；F為搜索步長；CR為交叉算子；P為優(yōu)秀個體選擇系數(shù)；x1/x2代表相對應(yīng)動態(tài)變量的最小值與最大值。由于IDE算法中的F、CR與Logistic映射相關(guān)，所以表中省略。程序?qū)⒚看斡嬎憬Y(jié)果都掃描到相應(yīng)的表格中保存起來，從所得數(shù)據(jù)中，記錄數(shù)據(jù)見表2。

表2 兩種算法優(yōu)化結(jié)果比較(單位MW)

圖3 IEEE30節(jié)點標準測試系統(tǒng)

仿真結(jié)果表明DE算法的電網(wǎng)有功功率損耗最少為3.210 52 MW，最多為3.474 75 MW；IDE算法的電網(wǎng)有功功率損耗最少為3.131 10 MW，最多為3.192 97 MW，均低于DE算法，并且用時與DE算法相差不大；除此之外IDE算法15次結(jié)果的平均電網(wǎng)有功功率損耗比DE算法低0.190 89 MW，這個數(shù)目從經(jīng)濟角度來看是十分可觀的。

兩種算法15次的運行結(jié)果如圖4所示，每種算法的最優(yōu)解收斂曲線如圖5所示。

圖4 兩種算法15次優(yōu)化結(jié)果

由圖4可知，DE算法獲得的最優(yōu)解比較分散且跨度比IDE算法大。由圖5可知，兩種算法基本都能使電力系統(tǒng)有功優(yōu)化問題得到收斂，但是DE算法在250代時，仍在更新全局最優(yōu)，所以其收斂效果不佳；IDE算法的收斂曲線不僅更好，搜索能力也高于DE算法，得到更少的有功功率損耗。值得強調(diào)的是，兩種算法各自選取的結(jié)果，其控制變量和狀態(tài)變量均滿足約束條件，即滿足系統(tǒng)安全運行。

圖5 兩種算法的最優(yōu)結(jié)果收斂曲線圖

基于兩種算法優(yōu)化后的最優(yōu)控制變量如表3和表4所示。

表3 兩種算法最優(yōu)解中的發(fā)電機有功功率輸出 MW

表4 兩種算法最優(yōu)解中的部分控制變量

表中：P為發(fā)電機有功功率輸出；U為發(fā)電機節(jié)點電壓有效值；T為可調(diào)變壓器變比；C為無功補償器的補償容量。其中：下標分別對應(yīng)于IEEE30節(jié)點測試系統(tǒng)里的相應(yīng)節(jié)點號；Pimax和Pimin分別代表系統(tǒng)中各發(fā)電機的有功功率輸出最大值和最小值，Ximax和Ximin分別代表系統(tǒng)中各控制變量標幺值的最大值和最小值。以上數(shù)據(jù)中功率基準值為100 MVA。由表3和表4可知，兩種算法的最優(yōu)解均滿足系統(tǒng)安全約束。

4 結(jié) 語

為了更好地求解多變量、多約束、多極值點、非線性、計算規(guī)模大且同時具有連續(xù)型和離散型變量的有功優(yōu)化問題，本文提出了基于DE算法的改進IDE算法。IDE算法優(yōu)化了傳統(tǒng)變異策略，同時引入Logistic映射改變系統(tǒng)參數(shù)，最后運用考慮系統(tǒng)約束的非貪婪選擇，以此來提高算法的搜索效率與優(yōu)化質(zhì)量。在Matlab上進行仿真實驗，模擬現(xiàn)實生活中的電力系統(tǒng)，通過數(shù)據(jù)記錄和收斂曲線可以直觀地看出IDE算法比DE算法具有更高的搜索效率與更好的收斂效果。通過將理論知識和實踐仿真相結(jié)合，使學生對電力系統(tǒng)有功優(yōu)化的動態(tài)過程和DE算法有了更直觀的理解與認識，并引導了學生運用仿真技術(shù)對算法進行改進研究。

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SimulationResearchonActivePowerOptimizationbyImprovedDifferentialEvolutionAlgorithm

CHENGonggui1,LUZhengmei1,LIUYao2,SUNZhi3

(1.School of Automation, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China; 2.Chongqing Institute of Educational Research, Chongqing 400015, China; 3.Guodian Enshi Hydropower Development, Enshi 445000, Hubei，China)

In the complex global power system optimization, the differential evolution (DE) algorithm can increase the diversity of its population, but the search efficiency is low.Hence, an improved differential evolution (IDE) algorithm is proposed based on the DE algorithm.The IDE algorithm retains the three steps of DE algorithm: mutation, crossover and selection, but it optimizes the traditional mutation strategy and combines with the Logistic mapping to make the search step and crossover change from fixed value to a certain range of random value.The method can expand the search scope of population and speed up the convergence rate.The IDE algorithm finally uses the non-greedy choice which considers system constraints to ensure that the algorithm explores the optimal solution in the feasible domain.In order to illustrate the practicability of the algorithm, by the Matlab software, DE algorithm and IDE algorithm were implemented on the IEEE30 bus test system for the active power optimization, and the objective function is power losses.Simulation results show that the IDE algorithm increases the population diversity, speeds up the convergence rate and improves the search efficiency.The simulation experiment deepens students’ understanding of active optimization of power system and DE algorithm.At the same time, it can guide students to improve the search performance of algorithms and solve the optimization problems by using computer technology.

power system; active power optimization; improved differential evolution (IDE) algorithm

TP 391.0

A

1006-7167(2017)10-0104-06

2017-01-05

國家自然科學基金(61463014)；重慶高校創(chuàng)新團隊項目(KJTD201312)，重慶郵電大學教育教學改革項目(XFZ1705)

陳功貴(1964-)，男，湖北恩施人，博士，教授，主要從事電氣工程專業(yè)的教學和科研工作。Tel.:15215033381；E-mail: chenggpower@126.com