基于Matlab PDETOOL的水電模擬實驗電場數值模擬

蘇關東，趙蘭苓，張 鵬, 孫德永，顧 勛，韓貝宇

(中國石油大學(北京) a.石油工程學院；b.理學院，北京 102249)

基于MatlabPDETOOL的水電模擬實驗電場數值模擬

蘇關東a，趙蘭苓b，張 鵬b, 孫德永a，顧 勛a，韓貝宇a

(中國石油大學(北京) a.石油工程學院；b.理學院，北京 102249)

在水電模擬實驗過程中，為了減少實驗及數據處理的工作量，節約實驗的時間和器材成本，更直觀的顯示實驗過程中的電場分布情況，在水電模擬實驗測量電勢分布的環節引入數值模擬技術：以拉普拉斯方程為基礎建立了描述實驗過程中電場中電勢分布的數學模型，并介紹了基于Matlab的該模型的求解方法，得到了較好的可視化仿真效果。通過與實驗測得的電勢分布比較，說明了數值模擬方法的可行性、準確性以及相對于實驗方法的優勢：可視化效果好，操作簡單易行，節約大量實驗材料及實驗時間，有利于對電場分布的整體把握，具有廣闊的推廣前景。

水電模擬實驗； 數值模擬； 電場仿真； 拉普拉斯方程； 偏微分方程

0 引 言

水電模擬實驗是滲流力學的經典實驗之一，它以相似三定理為理論基礎[1]，通過電荷在導體中的運動(模型)來模擬流體在多孔介質中的流動(原型)，主要用來研究各種復雜的滲流機理[2-3]。近年來，隨著我國向非常規能源的挺進和石油行業鉆井技術的飛速發展，工程實踐中出現了大量諸如水平井[4-7]、多分支水平井[8-10]、叢式井、蛇曲形井[11]、魚骨刺形井[12-13]的復雜結構井，它們的滲流機理相當復雜而現有的相應解析理論相對落后，水電模擬實驗便在這樣的時代背景下大顯身手，越來越受相關領域的科研工作者關注。

常規的水電模擬實驗主要包括電流測量和等勢線繪制兩大部分：電流測量主要用于預測生產井的產量，而等勢線的繪制主要用于研究滲流機理。在壓力漏斗和等勢線繪制過程中，需要測量大量的數據，測量方法有兩種：一種是人工測量的方法，這種方法效率低下、誤差大，在現代科研工作中已基本被淘汰[14]；另一種方法是通過自動測點定位系統來測量，這種方法雖然效率高，但是由于測點定位系統價格相對昂貴，增加了實驗的成本。同時，實驗測得的大量數據后續處理復雜。

用數值模擬的方法來研究水電模擬實驗中的電場分布，不但節約成本，減少實驗過程及數據處理的工作量，還可以得到很好的可視化效果，使得科研工作者對滲流場有更直觀的認識，進而更深刻地理解復雜的滲流機理。此外，仿真模擬技術引入滲流力學實驗課堂也可以增強學生對電場、滲流場的感性認識，從而提高課堂效果。總而言之，無論是對于科學研究還是對于課堂教學，用數值模擬技術對本實驗進行仿真，都具有一定的現實意義。

1 水電模擬實驗原理及其數學模型

水電模擬實驗以相似原理為基礎，通過電荷在電解質溶液中的定向運動來模擬流體在地層多孔介質中的滲流。以下將從基于實驗裝置的物理模型出發，以實驗原理和實驗步驟為基礎，建立描述實驗過程中電場分布的數學物理模型，并給出該模型基于Matlab的求解方法。

1.1水電模擬實驗裝置與原理

水電模擬實驗示意圖如圖1所示，實驗裝置由電模擬系統(電解槽、電解液)、數據測量系統(電壓表、電流表)和低壓電路系統(分壓器、火線、分壓器輸出端、零線) 、測點定位系統(絲桿、手柄轉輪、刻度尺)四大部分組成。圓形的電解槽由絕緣的有機玻璃制成，內盛有適當濃度CuSO4溶液來模擬儲層[12, 15]。通電后，離子在電解質溶液中的運動，這種運動可以用來模擬流體在地層中的滲流。電解槽的內壁側面部分鑲有薄的紫銅帶，在電解槽的中心部位用不同形狀的康銅絲來模擬不同的井筒類型。低壓電路系統通過變壓器將輸出電壓降到人體安全電壓(36 V)以下，供給給電模擬系統以模擬等壓邊界。數據測量系統和測點定位系統配合使用，通過金屬探針在電場中做三維運動來測量電場的空間分布情況。

圖1 水電模擬實驗示意圖[12]

1.2描述電場的數學模型

根據水電模擬實驗的裝置和原理，建立數值模型來描述實驗過程中出現的電場：

實驗過程中，通過使用交流電來消除電荷在水溶液中分布的極化現象，但是由于電流表和電壓表測量的分別都是交流電流和電壓的有效值，因此，從測量的數據來看，本實驗中動態的交流電場可看作靜態的直流電場，其電勢分布可用拉普拉斯方程來描述[3]：

(1)

式中，φ為點(x,y,z)處的電勢。

由于在水電模擬實驗過程中，若用康銅模擬直井，則康銅絲一插到底，通電時形成平行電場，故只需截取非端面的任意一個平行截面來研究即可；而對于用康銅絲來模擬其他井型，則只需要研究康銅絲所在的截平面即可滿足滲流機理研究的要求，故為了計算方便起見，可將描述電場的空間三維拉普拉斯方程簡化為二維的形式，得：

(2)

這便是描述平面二維定常電場電勢分布的微分方程，從偏微分方程理論的觀點來看，這是一個二維的橢圓型偏微分方程，要想得到該方程的解，還需要一定的定解條件，即邊界條件。

實驗中所用的CuSO4溶液的幾何尺度遠大于康銅絲和薄紫銅帶的幾何尺度，根據電阻定律，可知CuSO4溶液的電阻遠大于康銅絲和薄紫銅帶的電阻，而兩者又是在電路中串聯的，電流相等，根據歐姆定律，電流流過康銅絲和紫銅帶時的電壓降遠小于流過電解質時的電壓降，可忽略不計。忽略電路中導線的電阻，紫銅帶和電源的L極相連，電壓(電勢)可視為輸出電壓；康銅絲和電源的N極相連，電壓可視為零。因此可得，外邊界條件和內邊界條件分別為：

φ|Γout=φ|r=re=U0

(3)

φ|Γin=0

(4)

式中Γout為外邊界，即薄紫銅帶的內壁與康銅絲所在平面的交線，此處為一圓環，re為電解槽的半徑；Γin為內邊界，即康銅絲的外壁，同理將其簡化為閉合的曲線，U0為輸出電壓的有效值。

綜上所述，最終得到描述電解槽中的電場分布的數學模型為：

(5)

這是一個二維的橢圓型偏微分方程模型。

1.3基于Matlab的數值解

Matlab是一款在科研領域比較流行的數學軟件，它提供了豐富的集成數學工具箱，這些工具箱界面友好，操作簡便，簡單易學，減少了不必要的編程工作。其中，PDETOOl是以有限元方法為基礎，專門用于求解偏微分方程(PDE)的工具箱，被廣泛用于電場、流場、擴散場問題的求解及其可視化。用PDETOOL求解偏微分方程的數值解的步驟如下[16-17]：

(1) 根據物理模型，建立幾何模型。對于本實驗的對應的物理模型而言，外邊界為電解槽紫銅帶的內圓周，內邊界為相應井筒對應的康銅絲的形狀。

(2) 選擇PDE類型，設定PDE的參數。本實驗對應的數學模型中，PDE的類型為橢圓方程，PDE的參數分別為：c=1，a=0，f=0。

(3) 定義邊界條件，初始條件。本實驗的模型中，內外邊界條件如式(3)、(4)所示，無初始條件。

(4) 網格劃分。

(5) 方程求解及其解的可視化。

2 數值模擬結果及其與實驗結果比較

設置輸出電壓U0=4 V,電解槽半徑為1 m，在PDE工具箱中建立相應比例的幾何模型分別對水平井、二分支水平井、S形井以及圓形井進行數值模擬，這些水平井的模式圖如圖2所示。在Win10操作系統、Matlab2015a環境下，分別對它們進行數值模擬仿真，得到的電勢分布平面圖和立體圖分別如圖3、4所示。

將仿真結果和文獻[15]的實驗結果比較可知：

(1) 模擬仿真得到的電勢分布結果和實驗得到的結果基本一致，能夠較好地模擬實驗過程中出現的電場分布情況。

(2) 相對于實驗結果，仿真模擬的結果不僅可以輸出平面圖，還可以很方便地輸出立體圖，更加直觀地反映了電場的分布情況；同時，仿真結果還顯示了實驗結果所沒有的流線圖，反映了電荷在電場中的運動方向，以及電勢和電壓梯度的變化，更有利于人們理解相關滲流機理。

(a)水平井(b)二分支水平井

(c)蛇曲型井(S形井)(d)圓形井

圖2 井型模式圖[15]

(a) 水平井

(b) 二分支井

(c) S形井

(d) 圓形井圖3 不同井型等勢線分布平面圖

(a) 水平井

(b) 二分支井

(c) S形井

(d) 圓形井圖4 不同井型等勢線分布立體圖

綜上所述，在水電模擬實驗中，通過數值模擬的方法可以得到和實驗結果相近的電場分布圖。用數值模擬的方法獲取電場分布圖，不僅可以減少實驗過程中大量進行點坐標測量的工作量，還可以減少數據后期處理的大量工作，方便簡單，可視化效果好。

3 結 語

通過對水電模擬實驗過程中的交變電場進行等效、建模和近似，得到了描述水電模擬實驗等效電場分布的數學模型。基于Matlab的PDE工具箱，在Win10運行環境下，分別對水平井、二分支水平井、S形井、圓形井進行數值模擬仿真，得到電勢分布平面圖和立體圖，與實驗結果比較，仿真效果良好。

在水電模擬實驗過程中，通過數值模擬的方法來輔助或者部分代替實驗可以大大減少實驗過程中點坐標測量以及數據后處理的工作量，提高實驗效率；同時收到很好的可視化效果，增加實驗者對電場分布感性認識和宏觀把握，具有良好的推廣前景。此外還可以大膽地將數值模擬的方法引入實驗課堂，提高教學質量。

在利用PDE工具箱對電場進行仿真模擬的同時，還應該認識到基于Matlab PDETOOL的數值模擬方法的不足：① 無法求解復雜的空間三維問題。② 無法求解電流的大小。因此需要揚長避短，將數值模擬方法與實驗的方法優勢互補，相得益彰，共同為科學研究服務，協作推動科技發展。

致謝：

青玉案·致謝

鐘靈毓秀府學路。軍都山，皇陵渡。西望長城殘垣佇。蟒山深木，臥龍曾住。凡夫問道處。

幽谷香蘭妙筆書。鵬舉力繪八陣圖。春風十里揚州路。桃李不言，下自成蹊。不語展宏圖。

謹以此詞，衷心感謝理學院趙蘭苓老師的指導以及在論文修改上的幫助；石油工程學院李春蘭老師提供的實驗室條件與幫助；理學院物理系張鵬教授對電場電勢分布的有益探討；衷心感謝鄭力會教授給予的鼓勵。

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NumericalSimulationofElectricFieldinHydroelectricSimulationExperimentBasedonMatlabPDETOOL

SUGuandonga,ZHAOLanlingb,ZHANGPengb,SUNDeyonga,GUXuna,HANBeiyua

(a.College of Petroleum Engineering, b.College of Science, China University of Petroleum (Beijing), Beijing 102249, China)

In order to reduce the workload during the experiment conduction, simplify the data processing and decline the cost of hydropower simulation experiment, the numerical simulation technique is introduced to visualize its potential distribution.Firstly, a mathematical model describing the electric field distribution in the experiment is established based on the Laplace equation, and then a procedure to solve the mathematical model with the implementation of Matlab PDETOOL is presented, a preferable visual solution which reveals the potential distributions of different geometry models with different well types is finally obtained.The feasibility of numerical simulation and its advantages over the physical experimental method are therefore demonstrated by comparison.In conclusion, a satisfying visualization for the potential distribution during the hydropower simulation experiment can be realized with a simple operation on Matlab PDETOOL.The method has a broad prospect of popularization in both classroom and laboratory.

hydroelectric simulation experiment; numerical simulation; electric field simulation; Laplace equation; partial differential equation (PDE)

TE 319；O 441.4

A

1006-7167(2017)10-0123-04

2017-01-09

中國石油大學基礎研究基金(2462015YQ0604)；國家級大學生創新創業訓練計劃支持項目：水電相似實驗的仿真模擬(項目批準號：201611414019)

蘇關東(1995-)，男，廣東湛江人，中國石油大學(北京)石油工程專業2014級本科生。Tel.：18801322091；E-mail：su_gd@qq.com

趙蘭苓(1977-)，女，山東泰安人，碩士，博士在讀，中國石油大學(北京)講師，研究方向：計算數學、復雜流體建模與計算。Tel.：010-89731993；E-mail：zllblue@163.com