數學分析教材中的人文教育研究

張國利

【摘要】本文統計了華東師范大學編寫的《數學分析（第四版）》教材中的定理、習題和提及的數學家，研究了這些數學家傳記以及一些數學史在課堂上的教育價值，從而激發學生在數學分析課堂上的學習興趣，提高學生的人文素質。

【關鍵詞】數學分析；數學家；數學史；人文素質

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）13-0055-02

在我校數學科學學院的應用數學、數學教育和統計學等幾個本科專業里，都采用了華東師范大學數學系編寫的《數學分析（第四版）》（以下簡稱《數》）作為授課教材?！稊怠贩譃樯舷聝蓛?，其內容難易適當，習題豐富，章節設置合理，很多高校都采用了此書作為教材，一般用3個學期完成教學。教學過程中，我們可以采用毛羽輝等編著的《數學分析學習指導書（ 上下冊）》作為輔導教材，可以推薦學生把東北師范大學數學系劉玉璉等編著的《數學分析講義》作為配套教材，當然，對學有余力的學生也可以推薦他們閱讀張筑生、歐陽光中、陳紀修、謝惠民等或直接閱讀Amann、Apostol或Zorich等各自編著的數學分析著作。

《數》中有大量的定理，定義和習題以及數學家的名字，由于和高中數學思維的巨大差異，初學此書的高中畢業生大多會略感不適。本文從對這些定理和數學家的統計數據得出了對本教材貢獻最大的數學家，通過對他們的介紹，可以提高對教材的可教性和學生的易學性，這些課堂上有益的嘗試，確實收到了一些理想的教學效果。

一、數學史、數學家傳記的人文教育價值

無論哪一本數學分析教材都會有大量的定理及其證明，經作者統計，《數》正文中共有244個定理（等價定理或推論不計入），提到48位數學家（含習題中的），以數學家命名的定理有34個，約占定理總數的13.9%。該書共有966道習題，其中課后習題中的基礎題有490道，約占50.7%，提高題273道，約占28.3%，總復習題203道，約占21%。[1]從這個數據來看，學生要至少做好全書一半以上的習題才能算基本掌握教材，要學精教材至少要做好70%以上的習題，但從作者的小范圍調查來看，我校學生普遍做題沒有達到50%甚至更低，這是一個需要注意的問題。

大部分的數學教材都在很直接地向學生介紹各種定義、定理和直接的證明，而對這些教學內容的背景提的不多，其實這是一個很好的對學生進行人文教育的機會，在課堂上對學生的滲透也是最好的提高人文素質的方式之一。季羨林大師在首屆北大論壇上曾講到：“在21世紀，文理交融是學術發展的必由之路，文理雙方的專家都要考慮交融的問題?！盵2]其實，每一個定義、定理的產生背后都有很多數學家研究的艱辛歷程，有該問題產生的萌芽、錯誤、改進和推廣，了解這些問題背景，不僅對學好本門課程的學習有利，也會提高學生的人文素質，對后續課程也有很好的影響。因此，作者在《數》的教學過程中，越來越體會到對數學史、數學家傳記貫穿到教學中的重要性，為此專門搜集了《數》中出現的全部數學家傳記并整理裝訂成4冊共約500頁的傳記以便為教學服務，此外，作者還正在整理《數》中出現的著名定理或數學概念的研究歷程編輯成冊以方便教學。同時作者也積極向學生推薦一些如吳文俊或林壽的《數學史》、齊民友的《重溫微積分》、克萊因（Felix Klein，德國數學家、教育家，1849.4.25-1925.6.22，在群論、復分析和非歐幾何等領域有重要貢獻）原著，舒湘芹等譯的《高觀點下的初等數學》、John Stillwell（澳大利亞，1942-）原著，袁向東等譯的《數學及其歷史》等數學史或數學科普著作。

著名華裔數學家丘成桐（1949-）說過“多讀幾部科學家傳記比參加奧賽訓練要好的多，培養學生的興趣太重要了”。[3]作為數學系本科《數》課程的教師，有必要對數學家傳記或數學史的教育價值進行研究。從數學家傳記中，我們可以探索其個人或順利、或挫折的成長經歷以及社會環境對個人成長的影響，可以看到教材上沒有提到的他們對數學的具體貢獻，由此可以激發學生的學習興趣和求知欲，如介紹魏爾斯特拉斯是如何培養教育自己的學生、歐拉在視力減退的情況下如何著作等身、英年早逝的數學家阿貝爾的傳奇故事等。蘇聯教育家蘇霍姆林斯基（1918-1970）說過：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣?！?[4]強烈的好奇心，是引發興趣的重要來源。適當地向學生介紹曾經解決或尚未解決的數學問題能充分調動學生的學習積極性，如《數》上冊第46頁函數極限的（ε，δ）定義產生過程：18世紀初，柯西在他的某些文章中已經開始使用ε，δ這一類符號，但沒有提出函數極限的（ε，δ）定義。1817年波爾扎諾（Bernard Bolzano，捷克數學家，1781.10.5-1848.12.18）第一個提出極限的（ε，δ）定義，最終由魏爾斯特拉斯提出極限的現代（ε，δ）定義，再加上后來戴德金等人提出的實數理論才奠定了分析嚴格化的基礎。第204頁黎曼積分的產生過程及其缺陷：對于定義在有界閉區間[a，b]上的連續函數，在柯西定義的積分里面，，其中δ是對[a，b]分割的模，是每一個分割小區間的左端點，柯西在證明連續函數一定是（柯西）可積的證明過程是不完美的，而且其定義也是有局限性的，后來黎曼改進了柯西的定義，把柯西積分定義中的改為中的任一點ξi，于是對柯西積分只適用于任一點震蕩為0的函數，黎曼積分則將其推廣到了震蕩可以大于0的情形。[5]當然黎曼積分在如積分與極限換序運算等方面的不便更促使了Lebesgue（法國數學家，1875.6.28-1941.7.26）積分的產生和發展。下冊第5頁的格蘭迪（Luigi Guido Grandi，意大利數學家，1671.10.1-1742.9.4）級數：這個級數發散很好證明，但是其切薩羅（Ernesto Cesàro，意大利數學家，1859.3.12-1906.9.12）和卻等于，其原因就在于我們對級數和的定義有差異。第14頁p級數斂散性的研究歷程：ζ（1）稱為調和級數，其發散性首先被奧雷斯姆（Nicole Oresme，法國數學家，1325-1382）在1350年證明。ζ（2）時是著名的巴塞爾問題（Basel Problem），1735年，年僅28歲的歐拉得到了經典的結果ζ（2），盡管一開始的證明并不完美，但從此在數學屆名聲大振。ζ（3）為稱為阿佩里（Roger Apéry，法國，1916-1994）常數，1979年Apéry證明了ζ（3）是個無理數，更多情況下的ξ（p）是有理數還是無理數還不清楚。一般情況下，稱ζ（s）為黎曼zeta函數，其中s為實部大于1的復數。這個函數在解析數論中有著極其重要的地位尤其是與素數的分布有著密切的聯系，它在物理學、概率論和應用統計學中也有廣泛應用。以上幾個例子我們可以看到教師在這里講授的每一個小知識點都可以變成課堂上一段段生動的學習素材，花費適當的時間介紹給學生可以起到點綴豐富數學課堂、增加數學知識的親和力、提升學生學習興趣等效果。事實上，只有那些熱愛數學，并能把數學看成活生生的、不斷發展的教師才能真正激起學生的好奇心和求知欲。

我們對學生的培養，其核心是如何做人，如何為人處世體現了一定的人文精神。課堂教學僅僅傳遞知識是遠遠不夠的，我們教育的根本要使學生對人生價值有所領悟并產生熱愛生活和事業的情感，樹立遠大人生目標。1996年，聯合國教科文組織21世紀委員會發布的報告《學習：內在的財富》提出了學習的四大支柱即：學會求知、學會做事、學會共處、學會生存。從數學史和數學家的傳記來看，數學的發展歷程上有著大量相互交流，相互合作的例子，這正是數學數學課堂上提高學生人文素質的最好的教育方式之一。

二、結語

數學教師本身的整體素質和人格魅力，直接影響著學生個人素質的提高，如果在學生學習數學知識的同時，能及時領悟到數學的魅力和美，體驗到數學的價值，這將使他們終身受益，這跟我們的校訓：敬業奉獻，為人師表和教風：德以修己，教以育人也是一脈相承的。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版，上下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]婁延常.高等學?？茖W教育與人文教育融合路徑的探討[J].中國高教研究，2003（18）1：2-24.

[3]丘成桐.數學家之路-從“龐加萊猜想”說起[J]，上海：光明日報，2006，6，29（6）.

[4]胡作玄，鄧明立.大有可為的數學[M]，石家莊：河北教育出版社，2006.

[5]齊民友.從積分概念的發展看數學分析基本概念的發展（續2）[J].高等數學研究，2015.1.endprint