數學意識：在感性與理性中默化

○江蘇省南京市長江路小學 周衛東

數學意識：在感性與理性中默化

○江蘇省南京市長江路小學 周衛東

編者按：數學意識是形成良好數學品格的核心與關鍵。厘清數學意識的內涵，掌握培養學生數學意識的有效策略，是促進數學核心素養“落地”的基礎和前提。

什么是數學意識？

先來看一則例子。1980年，陳省身在北大的一次講學中語出驚人：“人們常說，三角形的內角和是180°，但是，這話是不對的！不是說事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應該說，三角形的外角和是360°。把眼光盯住內角，只看到三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，五邊形的內角和是540°，n邊形的內角和是（n-2）×180°，如果看外角呢？所有的多邊形的外角和都是360°。”顯而易見，陳省身教授這種看待問題的視角，足以說明他有著高于常人的數學意識。

再比如，在平常的教學中，學生會計算“50÷5”，說明他掌握了數學的基礎知識與基本技能；會解決“50本作業本，平均分給5組同學，每組多少本子”這樣的問題,說明他具有一定的分析和解決問題的能力；看到老師拿來5根長繩分給全班50位同學進行跳繩比賽，立即想到“50÷5”這個算式，這才說明具有一定的數學意識。

意識，作為動詞，即“意識到”的活動；作為名詞，是與活動相對應的結果（知識）。相對應的，數學意識作為人腦對客觀世界的數量關系和空間形式的反映，它有兩方面的含義：其一，作為人腦的反映，數學意識是主體能動地自覺運用數學的觀點去分析、處理問題的思維習慣。其二，作為數學活動的結果，數學意識主要包括數學概念、原理、公式、定理所運用的數學思想方法及其知識。二者相輔相成，辯證統一于數學活動過程之中。

當下的教育在努力追求一種境界，那就是教給學生“帶得走的東西”，而數學學習中“帶得走的東西”，就包括學生忘掉具體數學知識以后，依然能從數學的視角去分析和研究問題的思維習慣，是一種植根于內心的數學素養和無需提醒的文化自覺，即:數學意識。因此，通俗地講，數學意識是自覺地從數量關系和空間形式的角度認識世界的一種頭腦與眼光。數學意識能自覺地指導、調節、監控學生的數學活動，使其行動具有目的性、方向性和預見性。

數學意識通常包括初步的符號意識、建模意識、數據分析意識、應用意識等。數學意識體現在日常生活的方方面面，可謂如影隨形。

比如，麻將算得上是一種國粹，稍加分析，這種娛樂活動中蘊含著豐富的數學意識。其一是模型意識，你要問這些身經百戰的麻將高手，到底怎樣才算是和牌了？雖然很難一言以蔽之，但他們往往能一類一類地給你講一些具體的牌局，這些具體的基本上已經固化了的牌局，就是一種基本的模型；其二是數據分析意識，對運行中的各種情況進行預測，什么牌可以打，什么牌不能打，展現出具體的數據分析意識；其三是應用意識，在這種非數學情境中能夠數學化地解決實際問題，是數學思想方法被內化為數學意識和數學能力后的自覺應用，這是數學意識的自然流露。

數學具有得天獨厚的工具價值，特別是在日益“數字化生存”的今天，社會發展呈現出顯著的數學化趨勢，連許多過去與數學似乎沾不上邊兒的領域都被納入了數學的版圖，并因此取得了長足的進步。人們現在越來越意識到，高科技中的問題在本質都是數學問題；這種認識本身正是數學意識的升華。

那么，在日常的教學中，我們該如何培養學生的數學意識呢？

一、在數學與生活牽手時萌發

盡管近現代數學的發展給人以“越來越遠離我們的生活”之印象，但是，數學的起源與發展無時無刻不與我們的生活緊密相連。小學數學基本上都屬于“初等數學”的范疇，幾乎毫無例外地都與兒童生活和社會經驗聯系緊密。因此，在小學數學教學中，聯系兒童生活和社會經驗來展開學習活動是極其自然的事情。

我們要有意識地把數學概念、法則、性質、定律等要素寓于學生熟悉的生活情境與現實問題之中，以形象、具體、生動可感的生活內容與形式為載體，呈現數學知識、傳輸數學信息、提出數學問題，并引導學生身臨其境，投入其中。比如，如何讓學生理解“在四則混合運算中，先做乘除后做加減”？對學生直陳“這是一種規定”未必不能算一種教法，但這樣的教學，泯滅了數學的靈性，逼仄了學生的思維與求知欲。著名特級教師劉松獨到的做法令我們深受啟迪。他創設了一個情境：“同學們，大家都已經會計算115-15×4這道算式了，每個算式都是有生命的，你能圍繞這道算式編個故事嗎？”并給出了足夠的時間讓學生思考、書寫。隨后，學生調動自己的生活經驗和豐富的想象力，講出了若干屬于“自己的故事”：“公園里的成人票每張30元，兒童票15元，小明有115元，買了4張兒童票，還剩多少元？”“學校有115把新椅子，每班配15把，配了4個班，還剩多少把？”“一個師傅和四個徒弟比賽扎燈籠，師傅共扎了115個，徒弟每人扎15個，師傅比徒弟多扎多少個？”故事講完后，引導學生思考：“在這個故事中，如果先算減法會出現什么情況？”學生在想、辯的過程中，會頓悟：原來先做乘除后做加減的原理在這里，而不只是一種簡單的規定。此過程中，學生編擬故事的過程，就是運用生活經驗解釋算理的過程，交流故事的過程則是理解、深化算理的過程。這樣的教學，讓數學與生活合理、合適地相遇，數學在生活中得到詮釋，得到升華，此時，數學意識就會如種子般在學生的心智間自然、自發地萌發。

與此同時，還要注意的是，我們生活在廣博的社會生活中，生活中蘊含著大量數學元素，我們要有意識地引導學生關注生活，并在觀察、分析、比較生活材料的基礎上，加以綜合、歸納和抽象、概括，以處理和解決生活問題的策略、方法、事理、規律等事實依據，直覺感受與直接經驗等進行遷移、類推、衍化和升華，探尋潛在的數學原理，發掘內隱的數學本質，領悟蘊含的數學內涵，建構、生成相應的認知結構和數學模型，從而真正實現“生活數學”向“學校數學”的過渡。

二、在問題與思維共振時驅動

心理學研究表明，意識到問題的存在是思維的起點，沒有問題也就沒有思維。

數學意識活動是一種思維過程，要培養學生的數學意識，首先應讓學生有一雙“慧眼”來發現問題，并盡可能地以“兒童”的方式來解決問題。什么是教學？有專家這樣形象地描述：告訴學生11+3=14，這不是教學，問學生11+3等于多少，也不是教學，如果對學生說，11+3=15，你怎么看？這才是教學。較之前兩者，第三種教法的可貴之處就在于：呈現在學生面前的是問題，是需要消耗“腦力當量”的“真問題”。這需要對問題本身先進行審視、判斷，然后才能進行分析與解決。如此，長期以往，學生的眼光是通透的而非模糊的，學生的思維是多向的而非單一的，學生對問題的看法是辯證的而非絕對的。

小說家格雷厄姆·格林說過：“童年期肯定有一些時機，此時大門打開，讓未來走進來。”兒童經常會用自己的一套理論異想天開。比如學習“筆算除法”一課，一位學生這樣做（見下圖），他說：“書本的除法豎式太麻煩了，這樣寫也很好算，加、減、乘不都這樣寫嗎？”對這樣看似非常可笑的問題，教師微笑著鼓勵他查詢資料、嘗試自學三位數除以兩位數，試驗一下自己發明的除法豎式到底行不行，如果可行將為他申請發明專利。后來，這位學生寫了幾百字的小論文，發表在雜志上。再比如，教學“多位數的讀寫”一課，有一位學生質疑：“老師，數位的高低為什么一定要從左往右排？能不能從低往高排？”多好的問題！多好的教學資源！我放下預設，果斷地接納這“可遇而不可求”的生成資源，引導大家按剛才質疑的學生的思路進行嘗試，讓這種問題得到了妥善的、讓其心悅誠服的回應。試想，如讓學生長期浸潤在這樣的“問題場”域中，數學意識何愁不能驅動？

三、在探索與發現攜手時形成

兒童文化蘊涵著可貴的哲學精神：自由、智慧、發現。數學意識的形成，與兒童的每一次的探索與發現是密不可分的。成人如果漠視兒童文化的詩性邏輯和游戲精神，其實質是成人文化專斷，使兒童與其本真的生存方式相剝離。教師要做一個長大的兒童，理解兒童、成全兒童，大智若愚，在有趣的發現之旅中涵養兒童的數學意識。比如，我在教學“9的乘法口訣”時，聽課老師評價我特別“懶”，沒做一張ppt，沒設計任何情境故事，也沒有老老實實地做書本習題。課始，我親切地對學生說：“課前周老師了解到，咱班小朋友都在家長的指導下背過9的乘法口訣，想不想露一手？”大家興奮地背起來。“小朋友，哪一句比較容易錯啊？”有的學生說，“六九五十四容易錯，因為它和五九四十五很像，有時分不清是四十五還是五十四。”我就以“怎么知道六九是多少”為例，展開教學。學生們在研究單上用畫圖、轉化成加法、借助熟悉的口訣等多元的方法證明“六九五十四”。我只用紅筆在一組研究單上（從畫圖、加法算式、乘法算式到口訣）畫了一個向下的箭頭，寫上“抽象”二字，可謂神來之筆。在整理出9句口訣之后，我退到講臺邊上：“孩子們，好好觀察9的口訣，你有什么有趣的發現？”一段安靜的思考后，大家紛紛上臺，這是當時學生們的黑板板書（如圖）。最后，讓他們展示各自推薦的一道好題，在彼此的分享中經歷兒童樂、聞著數學味，循著數學意識的影子，流連忘返。

四、在方法和思想滲透時升華

數學意識與數學思想方法關系密切，數學意識是由數學思想方法內化、自覺化而產生的，所以數學意識活動實際上就是自覺運用數學思想方法處理問題的傾向。數學意識對數學活動起著定向、統攝和監控作用，這些作用的發揮取決于思想方法的運用程度。數學思想方法是數學意識的橋梁和中介，所以，我們要盡可能地在教學中重視數學思想方法，創設合適的教學環境，滲透數學思想方法，讓學生感受、感悟數學思想方法的精妙，為他們形成良好的數學意識鋪墊、蓄勢。

數學思想方法往往隱含于數學基礎知識之中，所以數學教師首先要充分挖掘教材中蘊藏的數學思想，然后引導學生通過觀察、分析、概括，經歷知識形成的過程，在問題解決中有意識地滲透數學思想方法，通過動手實踐、合作交流等活動領悟數學思想方法，問題解決后要再次強調或引導學生自己歸納出思想方法。這樣，才能讓數學思想方法真正內化為學生素養結構中不可分割的一部分。比如，教學“解決問題的策略——假設”一課，課始，我先播放了一則“道邊苦李”的動畫小故事，抓住核心問題“王戎是怎么判斷路邊的李子是苦的”進行討論，讓學生透徹理解“假如路邊的李子是甜的，怎么會沒人摘下來吃”的道理，為假設思想的教學打下了孕伏。再比如，教學一年級的“比多少”一課，我故意在黑板上無規則地擺上若干個黃色圓片和紅色圓片，讓學生解決“怎么才能知道黃色的圓片多還是紅色的圓片多，多多少個”等問題，這時，學生除了通過數的方法，還會自然而然地就會想到“一個對著一個擺”的方法，而這種方法的深處就是小學數學中常用的“一一對應”的數學思想。

五、在教師與學生相融時共生

數學意識的養成遠不及數學知識的傳承與數學能力的練就那么直接、具體、顯性，教師沒有現成的章法和固定的模式可以依循，在實施過程中操作也有一定的難度，同時其成果的顯現與評價也難以量化。因而，數學意識的養成是一個長期的、復雜的、螺旋上升的過程，不可能一蹴而就，需要一以貫之、持之以恒。這就需要教師具有高度的自覺意識、高度的責任感和使命感，傾情投入，主動作為，凝聚自身和他人的教育智慧進行教學。

教育的根本目的在于“促進人的全面發展”，在于啟迪人的智慧，給予人的發展方向、動力和潛能。學生數學意識的養成教育，將促進學生的數學意識逐步萌發、生成、發展，使其素養內涵得到較前更趨完善，結構更趨合理。讓學生具有用數學思維和數學方法解決問題的心向和習慣，這無疑為他們認識客觀世界提供了新的視角與工具，注入了應對未來社會和創造未來世界的新的動力、能力與智慧。同時，教學的過程是師生共同成長、雙向發展的共贏過程，學生數學意識養成的研究，也必將促進教師的數學意識的覺醒、發展、升華，促進教師教育觀念、教學視界和自身數學水平、教學智慧等進一步提升，促進教師教學行為與方式方法的與時俱進，獲得時代性的變革與改進。