聚焦新定義，提升學科素養

山東 王中華

聚焦新定義，提升學科素養

山東 王中華

隨著新課標的深入實施，數學素養教育要求不斷提高，以能力立意為目標，以增大思維容量為特色，具有相當濃度和明確導向的創新題型脫穎而出.“新定義”型題目是高考命題的一大熱點.所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學數學中沒有學過的一些新概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有的知識、能力進行理解，并根據新的定義進行運算、推理、遷移的一種題型.這類題目具有啟發性、思考性、挑戰性和隱蔽性等特點，由于它構思巧妙，題意新穎，是考查學生綜合素質和能力、挖掘學生潛力的較佳題型，因而它受到命題者的青睞.這種類型的問題很多，一般是以新課標教材內容為背景，給出某種新概念、新運算(符號)、新法則(公式)等，學生在理解相關新概念、新運算(符號)、新法則(公式)之后，運用新課標學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等尋求問題解決.縱觀這幾年的高考試題，可以發現，“新定義”型問題按其命題背景可分為三種類型：以新課標內容為背景、以高等數學為背景、以跨學科為背景.現就相關類型作探討.

1.新定義集合

所謂“新定義集合”，給出集合元素滿足的性質，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力.由于此類題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學生數學素質的考查，特別能夠考查學生“現場做題”的能力，并且在近幾年高考模擬試題和高考真題中頻繁出現.解題時應時刻牢記集合中元素的三要素：確定性，互異性，無序性

( )

A.①③ B.②③ C.②④ D.③④

【答案】B

2.新定義函數

【例2】如果函數f(x)對任意兩個不等實數x1,x2∈(a,b)，均有x1f(x1)+x2f(x2)gt;x1f(x2)+x2f(x1)，則稱函數f(x)為區間(a,b)上的“G”函數，給出下列命題：

①函數f(x)=2x-sinx是R上的“G”函數;

④若函數f(x)=ex-ax-2是R上的“G”函數，則a≤0.

其中正確命題的個數是

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】本題看似所給不等式復雜，但稍作變形可得x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]gt;0，所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]gt;0，即(x1-x2)與[f(x1)-f(x2)]同號，得到出新定義實質：f(x)是(a,b)上的增函數.可從單調性的角度判斷四個命題，①：f′(x)=2-cosxgt;0恒成立，所以f(x)是R上的增函數；②③：可通過作出函數的圖象來判斷分段函數是否在給定區間上單調遞增，通過作圖可知②正確，③不正確；④：若f(x)是“G函數”，則f(x)是R上的增函數，所以f′(x)=ex-a≥0，即a≤ex恒成立，因為ex∈(0,+∞)，所以可得a≤0，④正確.

綜上所述，①②④正確，共有三個正確命題，故選C.

點評：本題考查新定義問題、函數的單調性、學生對知識的綜合運用能力及運算能力，屬難題.

3.新定義數列

【例3】(2016·江蘇)記U={1,2,…，100}.對數列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T=?,定義ST=0;若T={t1,t2,…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1,3,66}時，ST=a1+a3+a66.現設{an}(n∈N*)是公比為3的等比數列，且當T={2,4}時，ST=30.

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)對任意正整數k(1≤k≤100)，若T?{1,2,…，k}，求證：STlt;ak+1；

(Ⅲ)設C?U,D?U,SC≥SD,求證：SC+SC∩D≥2SD.

(Ⅲ)下面分三種情況證明.

①若D是C的子集，則SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD.

②若C是D的子集，則SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD.

③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令E=C∩UD，F=D∩UC，則E≠?，F≠?，E∩F=?.

點評：本題三個難點，一是數列新定義，利用新定義確定等比數列首項，再代入等比數列通項公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的是將非特殊數列轉化為特殊數列，從而可利用特殊數列性質，以算代證，三是結論含義的應用，實質又是一個新定義，只不過是新定義的性質應用.

4. 定義新運算型

( )

A.[-1，2] B.(0，3]

C.[0，2] D.[1，3]

【答案】C

5.定義新法則型

思路分析：根據二元碼及新定義，分析新定義的特點，按照所給的數學規則和要求進行邏輯推理和計算求得.

【答案】5

【解析】由題意得相同數字經過運算后為0，不同數字運算后為1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判斷后4個數字出錯；由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判斷后2個數字沒錯，即出錯的是第4個或第5個；由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判斷出錯的是第5個，綜上，第5位發生碼元錯誤.

點評：本題以二元碼為背景考查新定義問題，解決時候要耐心讀題，并分析新定義的特點，按照所給的數學規則和要求進行邏輯推理和計算等，從而達到解決問題的目的.對于新法則，關鍵在于找到元素之間的對應關系，我們可以借助圖表等方法尋找它們之間的對應關系，利用對應關系列方程.

6.以高等數學為背景

本類型的題目通常是以高等數學符號、概念直接出現或以高等數學概念、定理作為依托融于初等數學知識中.此類問題的設計雖來源于高等數學，但一般是起點高，落點低，它的解決方法還是運用中學數學的基本知識和基本技能.這要求學生認真閱讀相關定義或方法，在充分理解題意的基礎上，結合已有的知識進行解題.

( )

A.8 B.6 C.4 D.1

【答案】A

7.以跨學科為背景

本類型的題目，主要是介紹數學知識在其他學科或領域的運用，一般都會介紹運用時的知識背景、數學模型，因而題中文字、信息較多.學生必須準確地把握題意、理順線索、分析相應數學模型與數學知識的內在聯系，結合學生已有的知識和能力進行推理、運算.

【例7】(2016·北京理)設數列A：a1，a2,…aN(N≥1).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數k都有aklt;an，則稱n是數列A的一個“G時刻”.記G(A)是數列A的所有“G時刻”組成的集合.

(Ⅰ)對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；

(Ⅱ)證明：若數列A中存在an使得angt;a1，則G(A)≠?；

(Ⅲ)證明：若數列A滿足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),則G(A)的元素個數不小于aN-a1.

思路分析：(Ⅰ)關鍵是理解G時刻的定義，根據定義即可寫出G(A)的所有元素；(Ⅱ)要證G(A)≠?，即證G(A)中含有一元素即可；(Ⅲ)當aN≤a1時，結論成立.只要證明當aNgt;a1時仍然成立即可.

【解析】(Ⅰ)G(A)的元素為2和5.

(Ⅱ)證明：因為存在an使得angt;a1，所以{i∈N*|2≤i≤N,aigt;a1}≠?.

記m=min{i∈N*|2≤i≤N,aigt;a1}，則m≥2，且對任意正整數klt;m,ak≤a1lt;am.因此m∈G(A)，從而G(A)≠?.

(Ⅲ)證明：當aN≤a1時，結論成立.以下設aNgt;a1.由(Ⅱ)知G(A)≠?.

設G(A)={n1,n2,…,np}，n1lt;n2lt;…lt;np，記n0=1.

則an0lt;an1lt;an2lt;…lt;anp.對i=0,1,…,p，記Gi={k∈N*|nilt;k≤N,akgt;ani}.

如果Gi≠?，取mi=minGi，則對任何1≤klt;mi,ak≤anilt;ami.

從而mi∈G(A)且mi=ni+1.又因為np是G(A)中的最大元素，所以Gp=?.從而對任意np≤k≤n，ak≤anp，特別地，aN≤anp.

對i=0,1,…,p-1,ani+1-1≤ani.

因此ani+1=ani+1-1+(ani+1-ani+1-1)≤ani+1.

點評：數列的實際應用題要注意分析題意，將實際問題轉化為常用的數列模型.數列的綜合問題涉及到的數學思想：函數與方程思想(如：求最值或基本量)、轉化與化歸思想(如：求和或應用)、特殊與一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數列求和，q=1或q≠1)等.

山東省棗莊市第二中學)