與 Euler-Mascheroni 常數有關的幾個不等式

陳金金, 王連堂

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

與 Euler-Mascheroni 常數有關的幾個不等式

陳金金, 王連堂*

(西北大學 數學學院, 陜西 西安 710127)

首先給出幾個新的收斂序列,然后給出更一般的收斂序列來提高其收斂速度,得到幾個與Euler-Mascheroni常數有關的不等式.

Euler-Mascheroni常數; Psi函數; 不等式; 收斂速度

Euler-Mascheroni常數γ=0.577 215 664…被定義為序列

的極限.眾所周知, Euler-Mascheroni常數在數學和科學領域中扮演著重要的地位,它的理論還應用在數論、物理學、微積分學等方面.許多研究者在Euler-Mascheroni常數理論和建立相應不等式方面做出了許多貢獻,例如

(1)

(2)

后來,D. W. DeTemple[1]通過研究序列

從而改進了收斂到γ的速度,并且得到不等式

(3)

C. Mortici[2]再次研究了Euler-Mascheroni常數,同時定義了一種新的序列

其中P、Q是關于n的多項式,且degP-degQ=1.

A. Vernescu[3]研究了序列

并得到不等式

(4)

D. W. Lu[4]研究了序列

并得到

在證明主要定理之前,先給出一些結論.

歐拉伽馬函數的表達式為

下面是關于Psi函數的漸近公式及不等式[5-7]:

(5)

ψ(x+1)-lnxlt;

(6)

(7)

(8)

1 引理

2 主要結論和證明

給定參數a、b和c某些特殊的值,使得下列序列收斂

利用上式,可得

Tn-Tn+1=

lnn+ln(n+1),

(10)

令

ln(1+x).

(11)

通過Mathematic計算,求得函數f(x)在x=0處的泰勒展開式為

4a-6a2-4a3-a4+6b+8ab+3a2b-b2+

4c+6ac+4a2c+a3c-4bc-2abc)x5+O(x6),

則

8ab+3a2b-b2+4c+6ac+4a2c+a3c-

從而可以得到下面的定理.

定理2.1如果定義γa,b,c為序列Tn的極限,則有:

其中

2ab-3c-3ac-a2c+bc;

6b+8ab+3a2b-b2+4c+6ac+

4a2c+a3c-4bc-2abc.

定理2.2對n∈N,n≥1有:

(12)

(13)

其中

證明證明(12)式,通過計算得

由文獻[9]知:

則計算可得:

對(12)式右邊,利用(8)式右邊得

(155+310n-294n2-588n3+1 680n4-

16 800n5)/[40 320n6(2n+1)]lt;0,n≥1,

對(12)式左邊,利用(8)式左邊得

證明(13)式,通過計算得

則計算可得

對(13)式右邊,利用(6)式右邊得

對(13)式左邊,利用(6)式左邊得

(-60-130n+36n2+253n3-1 071n4+

4 872n5+9 450n6+840n7)/

[2 520n6(n+1)(n+2)(2n+3)]gt;0,n≥1.

定理2.3對n∈N,n≥1有:

(14)

(15)

其中

證明證明(14)式,通過計算得

則計算可得

對(14)式右邊,利用(6)式右邊得

對(14)式左邊,利用(6)式左邊得

n≥1.

證明(15)式,通過計算得

由文獻[9],則計算可得

對(15)式右邊,利用(6)和(8)式得

對(15)式左邊,利用(6)和(8)式得

其中

A(n)=31 092+194 284n+475 633n2+

612 754n3+442 890n4+169 932n5+26 880n6.

為了提高這些序列收斂到γ的速度,給出了該序列更一般的形式來提高其收斂速度.對s∈N,有下列序列

其中

其中

如果a=1,b=0,c=2,則有

其中

特別地,令

定理2.4對n∈N,n≥1,則有:

(16)

(17)

(18)

證明證明(16)式,通過計算得

令

求導得

再利用(9)式右邊得

令

求導得

再利用(9)式左邊得

(-6 720x8-5 824x7+784x6-360x5-

684x4+2 503x3+2 749x2+1 085x+

155)/[6 720x7(x+1)3(2x+1)2]lt;0,x≥1,

證明(17)式,通過計算得

令

求導得

再利用(9)式左邊得

(38 528x6+39 872x5+1 072x4-11 608x3-

5 156x2-310x+155)/[6 720x7(2x+1)2×

(12x2+6x-1)]gt;0,x≥1,

令

求導得

再利用(9)式右邊得

(-4 384x8-10 352x7-8 304x6-832x5+

2 585x4+1 496x3+258x2-14x-

7)/[240x5(x+1)4(2x+1)2×

(12x2+6x-1)]lt;0,x≥1,

證明(18)式,通過計算得

令

f3(x)=-ψ(x+1)+

求導得

再利用(7)式右邊得

令

g3(x)=-ψ(x+1)+

求導得

再利用(7)式左邊得

(-72 148x6-13 663x5-5 512x4+

472x3+8x2+704x+200)/[240x5(x+1)4×

(24x2-12x+25)]lt;0,x≥1,

推論若

則對ngt;2有

證明經計算得

Pn-γ-1+ln 4=2ψ(n+1)-

再利用(6)和(8)式可得

其中

B(n)=3 360n5+42 000n4+203 532n3+

471 954n2+510 610n+193 613.

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2010MSC：11Y60; 40A05; 41A25

(編輯 鄭月蓉)

Some Inequalities Related to the Euler-Mascheroni Constant

CHEN Jinjin, WANG Liantang

(SchoolofMathematics,NorthwestUniversity,Xi’an710127,Shaanxi)

In this paper we give some new convergent sequences. Then we provide some more general convergent sequences to accelerate their convergence rates, and obtain some inequalities related to the Euler-Mascheroni constant.

Euler-Mascheroni constant; Psi function; inequality; speed of convergence.

O174.66; O178

A

1001-8395(2017)06-0731-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.004

2016-11-20

陜西省自然科學基金(2010JM1017)

*通信作者簡介：王連堂(1959—),男,教授,主要從事數學物理方程反問題、不適定問題解法的研究,E-mail:wlt800@sina.com