基于二維非齊次泊松過程的風險度量研究
——以中興通訊日收益數據為例

于 健， 徐美萍

(1. 北京建筑大學 理學院, 北京 102616； 2. 北京工商大學 理學院, 北京 100048)

基于二維非齊次泊松過程的風險度量研究
——以中興通訊日收益數據為例

于 健1， 徐美萍2*

(1. 北京建筑大學 理學院, 北京 102616； 2. 北京工商大學 理學院, 北京 100048)

以具有厚尾的中興通訊日收益數據為例,考慮年度趨勢和波動率等影響因素,應用二維非齊次泊松過程對超出時刻和相伴損失進行擬合,結果顯示非齊次泊松過程的擬合表現明顯優于其特殊情形齊次泊松過程,說明影響因素起了顯著作用.模型的合理性通過模型校驗予以闡明,并計算了擬合模型下的在值風險和相伴預期損失.研究表明,使用非齊次泊松模型可以更好地捕捉極端數據信息,得到更精確的風險度量估計值,為投資者規避損失提供借鑒.

超閾值模型; 二維非齊次泊松過程; 在值風險; 預期損失

在值風險(VaR)是業界用做風險度量的一個重要工具,但它有兩方面不足:第一,它沒有考慮一旦非正常情況出現(即損失超過VaR)時極端損失的嚴重程度,可能低估實際損失;第二,它不滿足次可加性質,違背了以分散化投資來降低投資組合風險的初衷.為此另一個風險度量工具應運而生,它就是預期損失(ES).由于ES在VaR的基礎上進一步考慮了出現極端情況時的平均損失程度且滿足次可加性,因而可以更完整地衡量極端損失風險.

對VaR進行計算的多種統計方法中,極值理論作為度量極端市場條件下市場風險的一種方法,具有超越樣本數據的估計能力,可以準確地描述分布尾部的分位數.極值理論有2類模型:分塊樣本極大值(BM)模型和超閾值(POT)模型.BM模型是應用極值理論計算VaR的一種便捷方法,但在計算過程中遇到一些困難:首先,如何分塊無法清晰定義;其次,這是一種無條件方法,無法考慮其他解釋變量的影響[1].為克服這些困難,文獻[2-3]提出了POT方法,它聚焦于超出某個高閾值的數據和超出發生的時刻.如文獻[2]提出了一個二維泊松過程同時考慮超出量和超出時刻,文獻[4-5]運用該方法來研究風險管理中的VaR.考慮到實踐中,通?？梢哉业揭恍┯绊懯找娴慕忉屪兞?而應用POT方法計算VaR的一個優勢是它可以很容易把解釋變量的影響考慮在內.相較于BM模型,POT模型能有效地使用有限的極端觀測值,在實踐中是最有用的模型之一.例如文獻[6]最早把POT模型應用于股票市場收益并給出了很好的解釋.文獻[7-8]應用POT模型分別對滬深股市極端風險和地震風險進行了度量.文獻[9-10]則分別研究了基于非齊次泊松過程的截斷δ沖擊模型和航空裝備無故障工作期預計.但通過翻閱文獻發現結合POT模型使用二維非齊次泊松過程擬合中國股票收益數據并計算風險度量的文獻并不多見.

本文選取了中國非金融類跨國公司100強的民營企業中興通訊股份有限公司從上市至2016年8月底的日收益數據,該數據具有明顯的厚尾.首先,在選取閾值時,本文提出了一種綜合考慮了模型估計的偏差和方差折中的差異度量方法,精確地估計出閾值的大小,以提高模型的擬合精度.然后,考慮到年度趨勢和波動率等因素的影響,應用二維非齊次泊松過程擬合其損失的超出時刻和超出量,擬合結果顯示使用非齊次泊松過程明顯優于相應的齊次泊松過程,且估計系數可給出合理解釋,說明解釋變量起了顯著作用.并通過模型校驗說明所給模型的合理性.最后,給出擬合模型下的風險估計值供投資者參考以規避損失.

1 建模思路

1.1通過尾部差異度量選取閾值POT模型關注的是超過某一閾值的數據的利用.由于它可以充分地利用有限的極值數據,在實踐中通常是非常有效的方法.以持有某只股票的多頭頭寸為例,記第t天觀察到的該股票的負的日收益為rt,令η(ηgt;0)是一個事先指定的高閾值.假定第i次超出發生在第ti天,即rti≥η,則POT方法關注的是數據(ti,rti-η)的建模,此處rti-η表示的是超出閾值η的超出量.而對于股票的空頭頭寸,POT方法考慮的是滿足正的日收益rti≥η的數據(ti,rti-η),其中η(ηgt;0)的選取與多頭頭寸類似.

對于給定的rt≥η,rti-η的條件分布函數記為Fη(x),由極值分布理論知:當選取的閾值足夠大時,Fη(x)可以用廣義帕累托分布(GPD)的分布函數來擬合[11],其形式如下:

其中ξ是形狀參數,ψ(η)=α+ξ(η-β)gt;0是尺度參數.當ξ≥0時,x≥0;當ξlt;0時,0≤x≤-ψ(η)/ξ.

通過上述分析易見:利用POT模型對尾部分布進行估計時,首先需要選取合適的閾值η,使得Fη(x)≈G(x;ξ,ψ(η)).在實際中操作中,人們通常把Hill圖法[12]和超額均值函數圖法[13]結合起來使用,此方法雖然簡單實用但是比較主觀粗暴.考慮到選取太大的閾值,會導致超出數據太少,使得應用這些數據進行模型分析時的方差過大;反之,太小的閾值,雖然用于分析的數據多了,但是其對尾部的漸近性就會受到質疑,可能產生偏差較大的估計.基于統計學意義下的折中考慮,提出了下面的差異度量:

(1)

η*=arg minηD(η).

在實踐中,發生時間ti為重要“稀有事件”(rti≥η*)發生的強度提供了有用的信息,一簇出現的ti意味著一段時間的大的市場下跌.超出量也是重要的,因為它提供了我們感興趣的量.為此,結合極值理論,可以假定超出時刻和相伴損失{(ti,rti)}聯合形成一個二維非齊次泊松過程,其強度測度具有下面的表示式:

A[(D1,D2)×(r,∞)]=

(2)

其中

(3)

是損失的密度函數,變量r≥η*,0≤D1≤D2≤T,參數αgt;0,β和ξ分別是尺度、位置和形狀參數,當添加足標t時表示它們是時變的.

進一步假設xt=(x1t,…,xvt)T是先于時刻t獲得的v個解釋變量構成的向量,并假定式(2)中的3個參數ξt,αt和βt為解釋變量的線性函數.具體而言,即假設

(4)

此處使用ln(αt)是為了滿足對αt取正數的約束條件.從而,{(ti,rti)}的似然函數可以寫為

(5)

其中

是密度函數式(3)對應的生存函數,變量z≥η*,記號[x]+=max(x,0).

注如果假定參數ξt、αt和βt在每一個交易日都是常數,則上述模型對應于二維齊次泊松過程的情形.

1.3檢驗模型的合理性校驗一個對超出時刻和超出量構建的二維泊松過程是否合理,需要檢驗模型是否具有以下3個主要特性:驗證超出率是適當的,檢驗超出量的分布以及模型的獨立性假設.

超出率的檢驗:如果二維泊松過程模型適合,相鄰兩次超出的持續時間應該相互獨立且服從同一個指數分布.具體而言,令t0=0,期待

是獨立同分布的標準指數變量.由于日收益是離散時間觀測值,使用持續時間

通過觀察Q-Q圖并輔以KS和Box-Ljung檢驗來檢查{zti}獨立同分布于標準指數分布的有效性.

超出量的檢驗:在二維泊松過程模型下,超出閾值η*的量rti-η*服從形狀參數ξt,尺度參數ψt(η*)=αt+ξt(η*-βt)的GPD.令

則應有{wti}獨立同分布于標準指數分布[14].這樣問題轉化為對{wti}獨立同分布于標準指數分布有

效性的檢驗,從而可以像檢驗{zti}那樣處理.

模型的獨立性檢驗:在去除解釋變量的影響后,檢驗獨立性假設的一個簡單的方式是查看{zti}和{wti}的樣本自相關函數(ACF)圖.在獨立性假設性下,期待{zti}和{wti}都無序列相關.在本文中使用Box-Ljung和x2檢驗對數據本身及數據之間的相互獨立性進行檢查.

1.4計算風險值VaR和ES對于給定的上尾概率p和閾值η*,由文獻[15]知,rti-η*服從形狀和尺度參數分別為ξt和ψt(η*)=αt+ξt(η*-βt)的GPD,因而VaR(p)可用下面的式子計算得到

(6)

正如引言所述,與VaR相伴的ES是一個有用的風險度量,對于連續型損失,由ES的定義可得ES(p)=E[rt|rtgt;VaR(p)].再結合GPD的性質,得到下面的計算式

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(7)

2 實證分析

2.1數據的描述性分析及閾值的選取眾所周知,中國經濟的快速發展使得中國資本市場極端不穩定.中國股票市場作為全球增速最快的資本市場,其中股票收益數據大都呈現出厚尾特征.為了研究股票收益的極值分布特性,從網易財經個股行情(http://quotes.money.163.com/trade/lsjysj-000063.html)下載了中興通訊(ZTE)從1997年11月18日至2016年8月29日的日收盤價數據,以pt表示股票在第t個交易日的收盤價,利用對數收益公式rt=lnpt-lnpt-1計算得到4 549個ZTE日收益數據的觀測值(單位:%),其中缺失值記為0.

下面是該數據的統計概述(表1)和時間序列圖(圖1).

表 1 ZTE日收益數據的統計概述

圖 1 正態分布對ZTE日收益數據的Q-Q圖

表1中偏度系數為負值隱含著該數據是不對稱的,峰度系數值遠大于3,提示該數據可能存在厚尾,JB統計量值的相伴p值幾乎為0,暗示該數據不能用正態分布擬合.事實上,從時間序列圖(本文略去)上也可觀察到該數據有許多極端正的和負的收益,再通過圖1,該數據相對正態分布的Q-Q圖,可明顯看出樣本數據點并沒有落在直線上,收益在上下兩端均體現出厚尾的特征.綜上,說明所研究的數據是非對稱且具有較正態更厚的尾部.

本文僅考察持有ZTE的多頭頭寸的情形(空頭情形類似),圖2是根據(1)式計算出的差異度量D(η)隨閾值變化的圖形,由此獲得最優閾值為η*=2.78,相應得到481個可用于建模的觀測值.

圖 2 D(η)隨η變化的關系圖

(8)

模型(8)的第一式中5個參數的標準誤依次是0.052 9,0.043 1,0.095 6,0.013 9,0.020 7,且所有估計值在2×10-5的水平下是顯著的.標準化殘差的Ljung-Box統計量值Q(10)=14.164,相伴概率為0.165 6,說明在0.05的水平下殘差是無自相關性的.又平方后的標準化殘差的Ljung-Box統計量值Q(10)=1.266 1,相伴概率為0.999 5,說明該模型基本無arch效應.綜上所述,用模型(8)來描述數據的條件異方差是足夠的.

估計結果表明:形狀參數ξt和尺度參數 ln(αt)顯著依賴于年度趨勢,且都是負的影響,說明隨著時間的推移ZTE的極端負的日收益不僅數目在減少,波動率也在減小.但位置參數βt對年度趨勢的依賴并不顯著,說明它隨時間推移發生的變化不明顯;形狀參數ξt沒有受到波動率的量化度量的影響,但它受到ARMA(1,1)+GARCH(1,1)的波動率一些負的影響,這意味著ZTE的負的日收益對尾指的依賴也在減少;位置參數βt還受到另外兩個解釋變量的影響,且都是正的影響,隱含著它隨著2種波動率的增大而顯著增大.這些與實際情況是相一致的.

表 2 二維齊次和非齊次泊松過程擬合ZTE的日負收益的估計結果

注:表中“—”表示不存在此項.

2.3模型的合理性檢驗為說明模型的合理性,首先給出了取定閾值η*=2.78時,相鄰2次超出的持續時間序列{zti}和超出量序列{wti}對標準指數分布的Q-Q圖(圖3).從圖3可看出2個圖中絕大多數數據點集中在參考線(數據與理論分布的第一和第三分位點確定的直線)附近,進一步對它們做右邊ks檢驗,統計量D+的值分別為0.032 7和0.023 1,相伴p值分別為0.358 0和0.597 7,這些都說明{zti}和{wti}與標準指數分布比較接近.再對它們做Box-Ljung檢驗,滯后15階x2統計量的值分別為24.024 2和14.720 9,對應的相伴p值分別為0.064 7和0.471 7,說明兩序列本身都可以認為是相互獨立的.圖4是序列{zti}和{wti}的ACF圖,注意到所有自相關函數基本落在漸近2倍標準差線內,說明它們都不存在序列相關.

圖 3 標準指數分布對相鄰兩次超出的持續時間(左)和超出量(右)的Q-Q圖

圖 4 相鄰2次超出的持續時間(左)和超出量(右)的ACF圖

最后檢驗序列{zti}和{wti}之間的獨立性,χ2檢驗統計量的值為230 880,相伴p值為0.239 6,可以認為兩序列之間是沒有關系的.

上述分析表明使用非齊次泊松過程擬合ZTE的日負收益是合理的.

2.4VaR和ES的計算接下來,關注持有1個單位人民幣的一個多頭頭寸.不同于齊次泊松過程的情形,非齊次泊松過程使用解釋變量的一大優勢是參數可以適應市場條件的變化,利用(6)和(7)式分別計算出ZTE日收益的倒數第二天和最后一天的VaR和ES值,同時也給出使用齊次泊松過程得到的VaR和ES值方便對照比較(表3).

表 3 二維齊次和非齊次泊松過程擬合ZTE的日負收益的VaR和ES值

從表3可看出,不論哪種模型,對于給定的尾部概率,VaR值都明顯小于相應的ES值,且同等條件下ES值增加的幅度更大,可見當實際中有極端損失發生時,ES可以彌補VaR低估風險這一不足之處,給出更穩健和保守的估計;隨著尾部概率p的減小,VaR和ES值都在逐漸增大,但即使p=0.5%相應的風險值也是比較小的,這意味著異常損失的發生并不遙遠,說明對股票收益進行風險控制是非常必要的;基于齊次泊松過程給出的風險值存在高估假象,而非齊次泊松過程不僅可以動態地捕捉VaR和ES等風險值,且由于用到了更多的數據信息給出的估計值更精準,容易達成有效防控風險的目的.

3 結束語

本文以具有極端日收益的中興通訊股票數據為例,考慮到年度趨勢和波動率等因素的影響,應用二維非齊次泊松過程擬合其損失超出時刻和相伴損失,給出模型的擬合和校驗結果并得到了VaR和ES的估計值.研究結果表明非齊次泊松過程的擬合表現明顯優于其特殊情形齊次泊松過程,說明引入解釋變量是很有必要的.又有模型的校驗結果顯示相鄰兩次超出的持續時間序列和超出量序列滿足模型成立的3個主要特征,因而本文所給擬合模型是合理的.另外,基于二維非齊次泊松過程不僅可以得到動態的風險估計值,且由于用到了更多的數據信息使得估計值較基于齊次泊松過程給出的更準確,從而為投資者控制風險提供更有效的數值參考,達到防范風險和及時止損的目的.

為計算簡便,本文只給出3個解釋變量的數值結果,投資者也可根據具體情況添加或修改解釋變量.另外,本文所用的方法也可以為其他具有極端收益的股票數據的風險管理與分析提供借鑒與參考.

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(編輯 陶志寧)

Research for Risk Measures Based on Two Dimensional Inhomogeneous Poisson Process——a Case Study of ZTE Return Data

YU Jian1, XU Meiping2

(1.SchoolofScience,BeijingUniversityofCivilEngineeringandArchitecture,Beijing102616;2.SchoolofScience,BeijingTechnologyandBusinessUniversity,Beijing100048)

Considering some influence factors, such as anannual trend and volatilities, we employ two-dimensional inhomogeneous poisson process to fit exceeding times and associated returns of ZTE daily log return with heavy tails. Fitting results show that the inhomogeneous poisson process has better performance than corresponding homogeneous poisson process, which implies that these factors work well. The reasonableness of fitting model is clarified by model checking. Value at risk and associated expected shortfall are calculated from the fitting model. This research indicates that applying inhomogeneous poisson model can fully capture information from extreme values and get the more accurate estimates for risk measures, which could provide a reference for investors to avoid loss.

peak over threshold model; two dimensional inhomogeneous poisson process; value at risk; expected shortfall

F830.91

A

1001-8395(2017)06-0753-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.008

2016-09-04

國家自然科學基金(11501017)

*通信作者簡介:徐美萍(1971—),女,副教授,主要從事統計推斷方面的研究,E-mail：xumiping2006@163.com