全平面上(p，q)級隨機Dirichlet級數(shù)的值分布

黃 婷， 陳 蕾， 鄭春雨

(瓊臺師范學(xué)院 數(shù)理系, 海南 海口 571123)

全平面上(p，q)級隨機Dirichlet級數(shù)的值分布

黃 婷， 陳 蕾， 鄭春雨

(瓊臺師范學(xué)院 數(shù)理系, 海南 海口 571123)

根據(jù)全平面上(p，q)級隨機Dirichlet級數(shù)的定義，通過把全平面上的隨機Dirichlet級數(shù)映射到單位圓上的隨機Dirichlet級數(shù)，應(yīng)用推廣的Nevanlinna第二基本定理，證明了全平面上(p，q)級隨機Dirichlet級數(shù)在一定條件下幾乎必然以每條水平直線為無例外小函數(shù)的(p，q)級強Borel線，該結(jié)論豐富了Dirichlet級數(shù)的成果，具有一定的理論意義.

隨機Dirichlet級數(shù); (p，q)級； 強Borel線； 小函數(shù).

1 引言與結(jié)果

考慮隨機Dirichlet級數(shù)

(1)

滿足0≤λ0lt;λ1lt;λ2lt;…lt;λn↑+∞，s=σ+it，σ及t是實變數(shù)，{Xn(ω)}為某概率空間(Ω，A，P)上的獨立復(fù)隨機變量列.

恒假定{Xn}滿足下列條件：對?ngt;0，E(Xn)=0，且存在一正數(shù)d，使得

(2)

引進輔助級數(shù)

(3)

令

對全平面上解析的級數(shù)(2)，令

其中p、q為整數(shù)，p≥q≥0.

定義1如果ρ=ρf(p-1，q-1)=0或+∞(p≥q≥0)，而0lt;ρf(p，q)lt;+∞，則稱解析函數(shù)f(s)有指數(shù)對(p，q)，則ρ=ρ(p，q)稱為f(s)的(p，q)級.

注：本文僅討論pgt;q的情形.

由文獻[1]中的定理6.6.4可知：若級數(shù)(1)滿足(2)式及

(4)

那么級數(shù)(1)與級數(shù)(3)有相同的(p，q)級，且

(5)

本文得到如下結(jié)果:

定理1若級數(shù)(1)滿足條件(2)、(4)和(5)，那么幾乎必然每條水平直線{s|Ims=t0}(t0∈R)是fω的沒有例外小函數(shù)的ρ(p，q)級強Borel線，即對?ω∈A，?t0∈R,?ηgt;0及?φ∈H有

(6)

其中

n(σ，t0，η，fω=φ(s))=
#{s|fω=φ(s)，s∈B*(σ，t0，η)，φ∈H}，

B*(σ，t0，η)={s|Res≥σ}∩B(t0，η)，

2 引理

給定t0∈R和ηgt;0，考慮映射

(7)

其逆映射s=Φ1(z)，z=Φ2(W)，令

W=φ(s)=φ2·φ1(s)，s=Φ(W)=Φ1·Φ2(W)，

H*(r)={z||z|≤r}∩Hk,k=1，2，

D(R)={W||W|lt;R},R∈(0，1]，

那么Φ(D(1))=B(t0，η).有下面引理，見文獻[1].

(8)

及

(9)

則映射(7)將級數(shù)(1)及?φ(s)∈H映射為D(1)內(nèi)的隨機解析級數(shù)，有

并且Ψ(W，ω)與ψ(W)在D(1)內(nèi)隨機解析，令

由Nevanlinna第二基本定理推廣得到下面引理：

引理2令G(W)和gj(W)(j=1，2)在D(1)內(nèi)解析且滿足

及T(R，gj(W))=o(T(R，G(W)))(R→1)，那么

其中R∈(0，1)，A和B是正常數(shù).

由文獻[1]中的引理6.7.3可得下面引理:

引理3設(shè)隨機變量Xn(ω)滿足(2)式，那么

引理4對在D(1)內(nèi)解析的Ψ(W，ω)有

(10)

及?ψ∈H′至多有一個可能的例外值ψ(W)使下式成立

(11)

其中

N(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))=

n(μ，Ψ(W，ω)=ψ(W))=

#{W|Ψ(W，ω)=ψ(W)，|W|lt;μ}.

證明共分3步完成證明.

第1步 由(8)和(9)式有

MΨ(R，ω)≤M(σ，fω)，

及

又由文獻[1]中的定理6.7.5和定理6.7.6可知，對t∈R，ηgt;0,有

因此有

又因為

從而

成立.

(12)

其中

第3步 證明對于D(1)內(nèi)解析的Ψ(W，ω)及?ψ(W)∈H′有

成立.

令

s∞={(X0(ω)，X1(ω)，…)|ω∈s}?E∞，

只需證P(s)=0.

故有P(s)=0，即

成立.綜上引理4得證.

3 定理1的證明

證明根據(jù)引理4中N(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))與n(R，Ψ(W，ω)=ψ(W))的定義及引理4中(10)式很容易得到

成立，由(8)和(9)式，對?φ(s)∈H有

因此(6)式a.s.成立.

選取一個全部由有理數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{tk}及數(shù)列{ηm}(ηm↓0)，類似前面的討論即可得到定理1成立.

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2010MSC:30D30; 30D35

(編輯 余 毅)

On the Distribution of Random Dirichlet Series with (p,q) Orders in the Whole Plane

HUANG Ting, CHEN Lei, ZHENG Chunyu

(DepartmentofMathematicsandPhysics,QiongtaiNormalUniversity,Haikou571123,Hainan)

In this paper, the random Dirichlet series on the whole plane is mapped to the random Dirichlet series on the unit circle by the difinition of random Dirichlet series with (p,q) orders on the whole plane. Using the generalized second Nevanlinna basic theorem, we prove that the random Dirichlet series with (p,q) orders almost surely take every horizontal line as a strong Borel line and without exceptional little functions. This result enriches the theory about Dirichlet series and has a certain theoretical signification.

random Dirichlet series; (p,q) orders; strong Borel line; little functions

O174.5

1001-8395(2017)06-0768-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.010

2016-11-07

海南省自然科學(xué)基金(20161007)