完備Brouwerian格上@-Fuzzy關系方程有唯一解的判別法

夏 嫦

(成都文理學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 四川 成都 610400)

完備Brouwerian格上@-Fuzzy關系方程有唯一解的判別法

夏 嫦

(成都文理學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 四川 成都 610400)

在完備Brouwerian格上討論了@-Fuzzy(其中@表示inf-α合成)關系方程有唯一解的問題，首先定義了@-Fuzzy關系方程的特征矩陣，然后利用特征矩陣給出了方程有唯一解的判別法.

完備Brouwerian格； 交既約元； @-Fuzzy關系方程； 極大解； 唯一解

自從1976年E. Sanchez[1]介紹了max-min合成Fuzzy關系方程的理論后,許多研究工作者進一步擴大了此理論的研究，如文獻[2-7]． 1985年，A. Di Nola等[8]引入了@-Fuzzy關系方程并找到了方程的最小解，得到了@-Fuzzy關系方程有解的一個充要條件，即一個@-Fuzzy關系方程有解當且僅當方程有最小解．1989年，A. Di Nola等[9]在線性格上討論了@-Fuzzy關系方程并構造出其極大解．人們發(fā)現(xiàn)定義在完備Brouwerian格上的@-Fuzzy關系方程的解集通常是一交半格,解集是由一個個區(qū)間構成的[9]．因此，如果能夠證明對@-Fuzzy關系方程的每個解至少存在一個大于或等于它的極大解，且這樣的極大解只有有限個，那么方程的整個解集就可以確定．因此，圍繞定義在完備Brouwerian格上的@-Fuzzy關系方程的解集中的每個解是否存在一個大于或等于它的極大解問題，研究者們做了大量的工作[10]．模糊關系方程的極小(大)解的求解問題與矩陣的覆蓋問題密切相關[11],熊清泉[12]討論了[0,1]格上inf-IT合成模糊關系方程極大解與特征矩陣的覆蓋問題的關系，并通過特征矩陣的覆蓋問題獲得方程有唯一(極大)解的充要條件．之前的討論多集中在[0,1]格上，本文在完備Brouwerian格上討論@-Fuzzy關系方程有唯一解的判別問題.

1 預備知識

設A=(aij)I×J為完備Brouwerian格上的矩陣,B=(bi)i∈I為完備Brouwerian格上的一列常向量，X=(xj)j∈J為取值于完備Brouwerian格上的一未知向量，I、J為有限集，則稱

A@X=B,

(1)

即

為@-Fuzzy有限關系方程，其中,“@”表示inf-α合成．

本文研究方程(1)有唯一解的判別方法，并記

χ*={x∈χ:x是χ的極大元}.

定義1.1[11]設(P,≤)為一個偏序集且X?P，如果p∈X，不存在x∈X使得xgt;p，則稱p為X的極大元.

注1.1由定義1.1，x*∈χ是χ的極大元當且僅當?x∈χ，x≥x*蘊含x=x*.

定義1.2設A=(aij)n×m,B=(bij)m×k，定義A⊙B=(dij)n×k如下：

定義1.3[13]設L為格，任取x,y,b∈L，如果b=x∧y蘊含x=b或x=a，則稱b為格L的交既約元.

引理1.1[14]設L為完備Brouwerian格，?a,b∈L,aαb≥b.

引理1.2[10]aαx=b有解當且僅當a∧b是解.進一步，當aαx=b有解時，x∈[a∧b,b].

引理1.3[9]χ≠?當且僅當AT⊙B∈χ.進一步，AT⊙B是方程(1)的最小解.

以下均假設?i∈I,bi為交既約元.

引理1.4如果x=(xj)j∈J∈χ當且僅當?i∈I,j∈J，有aijαxj≤bi，并且對每一個i∈I，存在j∈J使得aijαxj=bi.

證明由于?i∈I,bi為交既約元，結論顯然成立.

2 解的唯一性

定義2.1對于方程(1)的最小解x*=(xj*)j∈J，方程(1)的特征矩陣Q=(qij)I×J定義如下：

?i∈I,j∈J.

(2)

特征矩陣Q中的每個元qij中的值xj∈[xj*,bi]滿足aijαxj*=bi.

由引理1.4和定義2.1容易得到以下定理.

定理2.1χ≠?當且僅當Q的每一行都不全是空集.

證明必要性 設χ≠?，則方程有最小解x*，由引理1.4知?i∈I,存在j∈J使aijαxj*=bi,則由定義2.1知qij=[xj*,bi],即qij≠?，故Q的每一行都不全是空集.

充分性 設Q的每一行都不全是空集，則?i∈I,存在j0∈J，使qij0=[xj0*,bi]≠?，且aij0αxj0*=bi，令y=(yj)j∈J滿足：

則y∈χ，即χ≠?.

例2.1設格L=([0,1]2,∨,∧),任取〈c1,c2〉,〈d1,d2〉∈L,定義〈c1,c2〉≤〈d1,d2〉當且僅當c1≤d1,c2≤d2；

〈c1,c2〉∧〈d1,d2〉=〈c1∧c2,d1∧d2〉,
〈c1,c2〉∨〈d1,d2〉=〈c1∨c2,d1∨d2〉,
〈c1,c2〉α〈d1,d2〉=〈c1αc2,d1αd2〉.

任取e,f∈L，記[e,f]={x∈L:elt;xlt;f}.考慮方程A@X=B,其中

b1=〈1,0.4〉,b2=〈0.4,1〉均為交既約元.該方程有解，且最小解為

因此特征矩陣為

Q=

(3)

定義2.2若對所有的j∈J，都有qi2j?qi1j，則說Q的第i1行控制第i2行.易知，若Q的第i1行控制第i2行,則bi2≤bi1.由引理2.1可知，若Q的一個行控制了其他一個或幾個不全為0的行，則該行可被排除掉.

定義2.3?j∈J,若存在i∈I，使qij是Q的第i行唯一一個非空集，則稱j在核ker(Q)中，即j∈ker(Q)={j∈J|qij為Q的第i行的唯一一個非空集}.

對?j∈J，設Mj={i∈I|qij為Q的第i行的唯一一個非空集}，顯然Mj≠?當且僅當j∈ker(Q).?j∈J，設

(4)

推論2.1設χ≠?，則(1)式有唯一極大解當且僅當?j∈J,j∈ker(Q).

而且，(1)式有唯一解當且僅當?j∈J,j∈ker(Q).

由定理2.1和推論2.2容易得到下面定理：

定理2.3設χ≠?，則Q的每一行恰有一個非空元素且每個非空元素為單點當且僅當(1)式的解唯一.

例2.2設L為例2.1中定義的格，考慮方程A@X=B,其中

b1=〈0.3,1〉,b2=〈0.4,1〉均為交既約元.該方程有解，且最小解為

因此特征矩陣為

[1] SANCHES E. Resolution of composite fuzzy relation equations[J]. Inform and Control,1997,30(6):38-48.

[2] 王學平,張三華,馮山. 完備格Brouwerian上Fuzzy關系方程極小解存在的一個充分條件[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),1999,22(6):627-630.

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[10] LI Y M, WANG X P. Necessary and sufficient congditions for existence of maximal solutions for inf-@ composite fuzzy relation equations[J]. Comput Math Appl,2008,55:961-1973.

[11] CHEN L, WANG P P. Fuzzy relation equations(I): the general and specialized solving algorithms[J]. Soft Computing,2002,45(6):428-435.

[12] 熊清泉. 完備Brouwer格上幾類模糊關系方程的求解[D]. 成都:四川師范大學,2012.

[13] GRAWLEY P, DDWORTH R P. Algebraic Theory of Lattices[M]. NJ:Prentice-Hall, Englewood Cliffs,1973.

[14] BIRKHOFF G. Lattice Theory[M]. 3rd ed. Providence RI:Am Math Soc,1979.

2010MSC:03E72； 06D72； 08A72

(編輯 周 俊)

The Determinant Method That @-Fuzzy Relational Equation on Complete Brouwerian Lattices Has a Unique Solution

XIA Chang

(CollegeofMathematicsandStatistics,ChengduCollegeofArtsandSciences,Chengdu610400,Sichuan)

In this paper we study the unique solution problem for the @-fuzzy relational equation on complete Brouwerian Lattices, where @ denotes inf-αcomposition. We firstly define a characteristic matrix of the @-fuzzy relational equation and then use it to give a criteria for the existence of the unique solution of the equation.

complete Brouwerian lattices; meet irreducible element; @-fuzzy relational equation; maximmal solution; unique solution

O159

A

1001-8395(2017)06-0787-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.013

2017-01-10

國家自然科學基金(61273242)

夏 嫦(1981—)，女，講師,主要從事格上關系方程的研究，E-mail：028xiachang@163.com