關于2類群體運動模型的綜述：Cucker-Smale模型與Kuramoto模型

薛小平

(哈爾濱工業大學 數學系， 黑龍江 哈爾濱 150001)

關于2類群體運動模型的綜述：Cucker-Smale模型與Kuramoto模型

薛小平

(哈爾濱工業大學 數學系， 黑龍江 哈爾濱 150001)

介紹2類重要的群體運動模型Cucker-Smale(簡記(C-S))模型與Kuramoto(簡記(K))模型的研究現狀及發展動態.(C-S)模型是描述動物群體能如何成群的數學機制,(K)模型是揭示自然界中廣泛存在的頻率同步現象的形成機制.2個模型具有共同的特點，即群體效應，但研究的方法和手段卻不相同.重點從數學方法上論述研究的成果及其未解決的問題，幫助有興趣的讀者能較快地進入這一領域.

Cucker-Smale模型； Kuramoto模型； 成群； 鎖相； 頻率同步

鳥群、魚群、羊群等自然界的動物成群機理是什么？從生物學實驗和觀察可知，它們具有自行組織的群體效果，即使用局部信息和簡單規則便可從無序狀態過渡到有序運動.匈牙利著名的生物物理學家T. Vicsek等在文獻[1]中首次利用數值實驗的方法描述了群體運動的形成機理.A. Jadbabaie等在文獻[2]中基于一定的假設條件下從數學的角度嚴格證明了上述數值實驗的正確性.在T. Vicsek等的工作后，出現了大量的數學模型來研究群體行為，這里主要介紹由著名數學家T. Cucker和S. Smale于2007年提出的N-體運動模型[3]及相關的后續研究.這類模型在機器人群體運動和飛行器編隊等工程領域有廣泛應用背景.

17世紀著名物理學家惠更斯發現同一梁上的鐘擺具有同步振動的特性,即振子群體在弱耦合下展現同步效應.日本物理學家Y. Kuramoto提出了一個經典的耦合振子模型用于描述惠更斯所觀察到的鐘擺同步現象.盡管模型相對簡單，但從大量的數值實驗可觀察到其豐富的動力學行為.(K)-模型應用極其廣泛，它可以描述神經細胞構成的神經系統的興奮機制，也可以描述超導系統的物理性態.在工程上，擴展的(K)-模型是電力系統的基本方程，對電網的“暫態”穩定性研究具有重要意義.

1 (C-S)模型及其變種

本章重點介紹連續(C-S)模型及離散(C-S)模型，主要包括在不同拓撲連結情況下如何分析模型展現漸近群體行為.

1.1原始(C-S)模型(對稱情形) 在d-維歐氏空間中給定N個粒子，用(xi,vi)表示第i個粒子的位置和速度，這N個粒子的運動服從如下的微分方程(i=1,2,…,N)：

(1)

這里

K是耦合強度，Kgt;0.系統(1)與文獻[3]原始(C-S)模型的參數形式略有不同，為了后續方便，均采用統一模式，并不影響模型的性質.

定義1.1稱系統(1)的解(x,v)具有漸近群體效應是指：

1) 相對速度趨向于0，即

2) 相對位移聚集，即

(2)

對于給定的一個非負對稱N×N矩陣A，對應的拉普拉斯矩陣記為L=D-A，這里

用(Rd)N表示N個歐氏空間Rd的乘積，賦予由Rd誘導的內積結構，即對?x=(x1,x2,…,xN),y=(y1,y2,…,yN)∈(Rd)N,

Rd中范數記為|·|,(Rd)N范數記為‖·‖,即

這樣(2)式可以寫成如下形式

(3)

這里

x=(x1,x2,…,xN)∈(Rd)N,

v=(v1,v2,…,vN)∈(Rd)N,

Lx表示(2)式中矩陣對應的拉普拉斯矩陣.

令

Δ={(v,v,…,v)|v∈Rd}?(Rd)N,

Δ⊥表示Δ的垂直補空間.容易看到，對每個x∈(Rd)N,都有唯一分解

x=xΔ+x⊥.

定義Q:(Rd)N×(Rd)N→R為

那么Q是Δ⊥×Δ⊥上雙線性、對稱、正定二次型，因此是Δ⊥上內積.

記

注1.11) 定理的證明依賴于Q是Δ⊥的內積及其“自有界”方法,這種方法主要是通過Cucker-Smale建立的一個引理來證明位置差有界.這個基本引理為:

設c1,c2gt;0,sgt;qgt;0,那么方程

F(z)=zs-c1zq-c2=0

有唯一正根z*.進一步，

下面介紹文獻[4]的方法，注意到(2)式第2個方程右端項具有對稱性，故

即

因此，分析系統(1)，可以轉化為假設解具有

取(x,v)為滿足(4)式的系統(1)的解，令

‖x‖∞=maxi|xi|, ‖v‖∞=maxi|vi|,

那么有下面的微分不等式成立:

(5)

構造Lyapunov泛函

1.2非對稱連續(C-S)模型在Cucker-Smale的原始工作之后，文獻[5]中研究了一個分等級領導的(C-S)模型.首先引入一些基本概念.

給定一個非負矩陣A=(aij)N×N，對應一個有向圖G=(V,E),這里V={1,2,…,N}是頂點集，E是邊集，E={(i,j)|aijgt;0}.

定義1.2稱非負矩陣A具有分等級領導結構的，是指

1) 若aijgt;0,那么jlt;i;

2) 記L(i)={j|aijgt;0},當igt;1時，L(i)≠?.

由定義容易看出非負矩陣A具有分等級領導?A是下三角矩陣，且對任何igt;1行，至少存在一個非對角正元素aij.aijgt;0意思是粒子j領導粒子i.考察N個Rd中的粒子(xi,vi),滿足如下方程

(6)

x=(x1,x2,…,xN)∈(Rd)N,

注意L(1)=?，因此v1是自由量.

2) 定理1.2的證明是用數學歸納法.事實上當N=2時，可直接利用定理1.1的結論.然后，假設N結論成立，利用擾動方法可以證明N+1時也成立.

另一個非對稱(C-S)模型由S. Motsch和E. Tadmor在文獻[6]中提出，其動力學方程為

(7)

引進系統(7)的解(x,v)的直徑

這樣基于文獻[4]中提出的Lyapunov泛函方法有:

定理1.3[6](Motsch-Tadmor) 如果初始值滿足

那么系統(7)對應的解具有群體效應，即

系統(7)的解具有群體效應是無條件的.

注1.4系統(7)是非對稱結構，與系統(1)有很大不同，注意系統(1)有

因此

對于系統(7)仍然有

那么A與初始速度(v1(0),v2(0),…,vN(0))之間有什么關系，是不清楚的.

問題1.1對于系統(7)，每個粒子都收斂到相同的速度A，那么A與初始速度的依賴關系是什么？這是一個未解決的公開問題，見文獻[6].

1.3離散(C-S)模型在著名文獻[3]中也研究了如下的離散模型：

(8)

定理1.4[3]對于系統(8),如果βlt;1/2且當h足夠小時,群體效應發生.如果β≥1/2，當初始位置和速度滿足一定條件時，群體效應發生.

注1.5他們給出一個βgt;1/2的例子，說明群體效應發生是有條件的.

下面來研究系統(8)的變種.首先引入有向圖.記V={0,1,2,…，N}為頂點集，邊集

E={(j,i)?V×V}(i,i):i∈V}，

記圖G=(V,E)，那么G是有向圖.稱(j,i)∈E是指j領導i，L(i)={j:(j,i)∈E}表示i的領導集.文獻[5]中給出了分等級領導結構(見定義1.2)，而N+1個粒子{0,1,2,…，N}稱為具有分等級領導的，是指有向圖G滿足:1) 如果j∈L(i)，那么jlt;i；2) 對?igt;0,L(i)≠?.

給出一個分等級的有向圖G，考慮如下模型

(9)

這里

(10)

定義1.3稱圖G具有根領導結構，是指頂點0沒有從其它頂點出發的路徑連結，而每個頂點igt;0，都有頂點0出發的路徑連結.

可以看出:圖G具有分級結構，那么G具有根領導結構;反之，不成立.在文獻[8]中，證明了如下定理.

上面的定理1.5和1.6都是固定有向圖，在文獻[9]中研究了一個變化有向圖結構的系統.設對?t∈N={0,1,2,…},有一個有向圖Gt=(V,Et)對應,考慮如下系統：

(11)

這里

2) 對于系統(9)和(11),無條件群體效應發生的參數β的臨界值βc是多少，仍然是未知的.

問題1.2對于系統(9)和(11),βc是多少？這個值是與圖的盡度有關嗎？

注1.7定理1.6和1.7的證明是依賴于一類非負矩陣，即(sp)矩陣的性質，這種矩陣在非負系統的切換穩定性中有很好的應用，見文獻[12-13].

1.4關于(C-S)模型的其他變種文獻[14]中考慮了如下的隨機模型,對于t=0,1,2,…

(12)

在Hi(t)假定為均勻分布和正態分布的情況下，給出了類似于確定模型的結論.

在文獻[15]中考慮了如下的隨機模型

(13)

這里

在對稱和根領導結構下證明了系統(13)幾乎依概率1具有群體效應.

對于系統(4),當N→∞時，可用一個粒子的動態密度函數f=f(x,ξ,t)來描述，那么系統(4)轉化為如下的Vlasov-Mckean方程

(14)

文獻[16]中研究了方程(14)解的存在性、正則性，及其與系統(4)之間的關系.另外，(C-S)模型與流體耦合形成的動力系統也有研究，如文獻[17-18]等.

注1.8(C-S)模型及其變種能反映成群的數學機理，目前，理論上還有很多值得探討的前沿課題.從應用角度，如飛行器編隊、機器人群體運動等方面，也有相應的工程科學研究，這里沒有列出相應的文獻.

2 Kuramoto模型及其變種

本章討論另一類群體運動模型，即耦合振子模型，或Kuramoto模型.下面分一階、二階模型分別研究.

2.1一階Kuramoto模型(有限個振子的情形) 考慮N個振子，θi表示第i個振子的轉角(相位角)，ωi∈R表示第i個振子的固有頻率.日本學者Y. Kuramoto在文獻[19]中提出了這N個振子耦合的如下模型：

(15)

這里Kgt;0是振子的耦合強度.主要研究方程(15)的以下3個方面問題：

1) 頻率同步解：如果方程(15)的一個解

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…，θN(t))

滿足

2) 鎖相解：如果方程(15)的一個解

θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…，θN(t))

滿足

注意到方程(15)N個式子相加得

(16)

如果解θ(t)是頻率同步解，那么由(16)式,記

那么

即

于是，可將方程(15)的研究變型成如下方程：

(17)

此時頻率同步解等價于

(18)

對于N個振子(N大時)，Kc的精確值很難估算.一個粗略的估計，可以從(18)式中得到，記

則

文獻[20]中利用凸優化方法給出了Kc的一個較好的估計.

那么，當

時，(18)式有靜態鎖相解.

關于Kc的估計，如文獻[21-23]等.

耦合振子模型可用如下的序參數表示：

(19)

r=0表示振子空間分布均勻，r=1表示相位同步.由(19)式可以得出另一個Kc的下界估計.如果θ*表示靜態鎖相解，那么

由此，K應滿足

文獻[24]中給出了Kc一個精確的計算公式.

定理2.2[24]N≥2,ω=(ω1,ω2,…，ωN)不完全相同，u*∈[‖ω‖∞,2‖ω‖∞]是如下方程

的唯一解，那么(19)式有靜態鎖相解的臨界耦合強度

Kuramoto模型(15)的一個自然推廣是考慮網絡上的振子模型：

(20)

其中,aij=aji≥0,由矩陣A=(aij)N×N生成的圖是無向連通的.模型(20)可以寫成如下梯度系統

(21)

這里θ=(θ1,θ2,…，θN)∈RN,

利用一個著名的Lojasiewicz不等式理論，可以分析(20)式的動力學行為.

定理2.3[25](Lojasiewicz梯度不等式) 設f:RN→R是實解析函數，記臨界點集為

Γ={θ∈RN:▽f(θ)=0},

|f(θ)-f(θ*)|1-r≤c‖▽f(θ)‖,θ∈U(θ*),

通常稱r為f在θ*處的Lojasiewicz指數.

定理2.4[25](Lojasiewicz梯度系統的收斂定理) 設f:RN→R是實解析函數，考慮梯度系統(21),如果θ(t)是系統(21)的一個有界解，那么存在θ*∈Γ,滿足：

2) 定理2.4的主要應用是處理臨界點集Γ是稠密集的情形，此時通常常微分方程中常用的Lasalle不變原理不能得到解的收斂行為.

利用定理2.3和2.4,對于經典的Kuramoto模型(15),有如下定理.

定理2.5[26]對于系統(15),當ωi≡ω(i=1,2,…，N)時，對于任何系統(15)的解都是頻率同步解，也是鎖相解.

對于系統(20),可以計算在特定區域梯度系統(21)臨界點的Lojasiewicz指數，記

對于Kuramoto模型(20),有如下定理:

注2.21) 由定理2.6可知，如果系統(20)的一個解θ(t)→θ*(t→∞),θ*∈R(D*),那么收斂率是指數的.

2) 在文獻[28]中，還計算了f(θ)在其它區域中臨界點的指數，從而用指數來判定收斂率.

定理2.7[29]若矩陣A=(aij)N×N生成的無向圖是連通的，且耦合強度K和初始位置滿足某些約束時，系統(21)的解是頻率同步解.

關于系統(20)的拓展是考慮不同的連結拓撲下的同步問題，已有許多作者做了相應的工作，如文獻[30]中的環圖連結、文獻[31]中的完全二分圖連結等.

問題2.1系統(20)的同步解吸引域與拓撲之間的關系如何？在一定程度上不清楚.

對于Kuramoto模型研究的文獻很多，包括來自物理、自動化和數學領域，這里僅僅涉及很少一部分，主要是從數學的興趣考慮.

2.2連續Kuramoto模型(振子個數為無限的情形) 考慮系統(19)當N→∞的情形.用ρ(θ,ω,t)表示振子在

S1={eiθ:0≤θlt;2π}

上分布的密度函數，滿足

由質量守恒，那么ρ滿足如下的連續方程

(22)

根據系統(19),每個振子的速度v為

v(θ,t,ω)=ω+Krsin(ψ-θ).

(23)

用g(ω)表示固有頻率的密度函數，那么由系統(19)令N→∞得

將(23)和(24)式代入到(22)式得到連續型Kuramoto模型為

(25)

對于0lt;rlt;1,靜態解滿足如下方程

(26)

下面計算耦合強度的臨界值.由方程(26)得

令r→0+,解得

對于上述猜想，文獻[33]得到如下結論.

定理2.8[33]對于系統(25),如果頻率分布函數g:R→[0,+∞)滿足如下條件：方程

Kuramoto模型的另一個連續型模型可以按照如下方式導出.

設N個振子滿足如下方程

(27)

其中ri是獨立同分布的隨機變量，利用大數定理和黎曼積分，令N→∞,得到如下的積分、微分方程

(28)

關于方程(28)的研究還剛剛起步，目前，在文獻[37]中僅研究了方程(28)靜態解的存在性問題，而穩定性和吸引性尚未有任何結果.

最近，文獻[38-39]研究了隨機圖意義下的Kuramoto模型的連續極限模型，通過隨機圖的收斂性，建立了離散與連續之間的關系，是一個非常新的研究方向.

2.3二階Kuramoto模型在文獻[40]中，首先考慮了帶有慣量的Kuramoto模型

(29)

其中mgt;0是慣量.

為了研究方程(29)的同步問題，他們建立了一個二階微分不等式的Gronwall不等式.考慮下面的微分不等式：

(30)

其中,agt;0,b、c、d是實常數.

引理2.1[40](二階Gronwall不等式) 設y=y(t)是方程(30)的一個解，那么

1) 當b2-4acgt;0時，成立

2)b2-4ac≤0時，成立

記

及

當ωi≡ω(i=1,2,…，N)時，得到下面的定理.

定理2.9[40](小慣量定理) 考慮方程(29),若滿足如下條件

那么方程(29)的解θ(t)相位指數同步、頻率指數同步，即

Dθ(t)≤Ce-μ1t,Dω(t)≤Ce-μ2t,

其中C,μ1,μ2gt;0為3個常數.

當mK大時，即大慣量定理，也在文獻[40]中建立了與定理2.9類似的結論，同時，也建立了{ωi}不相同情形的大、小慣量定理.

事實上，如果取

那么系統(29)也是下面的梯度系統

是否對于ωi≡ω(i=1,2,…，N)的情形，系統(29)所有的解都是頻率同步解呢？也就是慣量mgt;0對于頻率同步解不受影響.

猜測2.1當ωi≡ω(i=1,2,…，N)時，系統(29)的所有解都是頻率同步的，即

從梯度系統的角度來看，猜測應該是正確的.

文獻[41]中提出如下的電力系統模型

(31)

這里,Migt;0表示第i個發電機的慣量，Digt;0表示第i個發電機的阻尼，φij表示相位偏移，aij表示2個發電機的功率轉化，ωi表示自然頻率.

為了研究系統(31),考慮如下的非一致Kuramoto模型

(32)

利用奇異攝動理論，有如下結論：

這里

D=diag(D1,D2,…，DN),

P(θ)=(P1(θ),P2(θ),…，PN(θ)),

i=1,2,…，N.

定理2.10說明系統(31)的同步問題在一定條件下可用方程(32)來研究.但無論如何，對于電網系統，一般ε的值較大，所以定理僅是一個特殊情形.文獻[42]中研究了系統(31)當φij=0時靜態鎖相解的存在條件，特別提出了如下問題：對于系統

(33)

頻率同步解的吸引域如何估計？

注意到系統(33)是二階梯度系統，在文獻[27]中對于上述問題有如下定理：

定理2.11[27]在慣量與阻尼比相同的情形下，對于矩陣(aij)N×N在一定條件下，可以估計系統(33)的頻率同步吸引域，對于每個在吸引域內的初始值，對應的解都以指數收斂到靜態鎖相解.

對于慣量與阻尼比不相同的情形，系統(33)吸引域問題仍然是公開的，至今尚未看到任何結果.

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2010MSC:34D05; 34C15

(編輯 余 毅)

A Survey on Two Types of Multi-agent Models:the Cucker-Smale Model and the Kuramoto Model

XUE Xiaoping

(DepartmentofMathematics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,Heilongjiang)

We introduce the recent research development about two types of multi-agent models: the Cucker-Smale (C-S) model and the Kuramoto (K) model. (C-S) model is a mathematical model used to describe the flocking behavior of animals. K model reveals the mechanism of synchronization phenomenon in natural world. These two models have a common property, which is the group effect. But the methods to study these two models are quite different. We introduce not only the mathematical methods but also some open problems about these two models. We hope this survey can help the interested readers to enter this research area quickly.

Cucker-Smale model; Kuramoto model; flocking; phase locking; frequency synchronization

O175.14

A

1001-8395(2017)06-0711-11

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.06.001

2017-08-28

國家自然科學基金(11671109)

薛小平(1963—),男,教授,主要從事泛函分析及其應用、優化與控制、微分包含與動力系統的研究,E-mail:xiaopingxue@263.net