構建生態和諧課堂
——“基本不等式證明”教學設計

田利劍 祝存建

構建生態和諧課堂
——“基本不等式證明”教學設計

田利劍1祝存建2

重視概念和公式的生成過程，重視學生的元認知，注重學生思維能力的培養是數學概念課的首要任務。這就需要在教學過程中營造一種平等、自由的課堂教學氛圍，讓學生在課堂中自由發揮才能，使得師生在一種輕松、和諧的課堂氛圍中自然成長。

數學思維；課堂教學；高中數學

現階段很多教師在教學中講究“套路”，對概念教學片面重視概念公式的應用、輕視概念和公式的生成過程，忽視學生的元認知，讓學生將鮮活的數學知識變成一個又一個的“套路”儲存在記憶之中，使得數學學習活動單純地成了記憶活動，這是不可取的，需要加以改變。為此，筆者認為注重學生思維能力的培養是數學概念課的重要任務之一。

“基本不等式證明”一課的教學重點是在課堂中引導學生發現不等式，并對所得不等式給出證明和幾何解釋。在實際教學過程中筆者決定放棄預習案，將課堂教學分為五個階段：第一個階段的任務目標是引入基本不等式；第二個階段的任務目標是證明基本不等式；第三個階段的任務目標是探索基本不等式的幾何解釋，以此深化學生對不等式的理解；第四個階段的任務目標是基本不等式的應用；第五個階段是對整個課堂的回顧總結。在每一個活動中讓學生在自然、開放的氣氛中充分發揮自己的探究能力，提高思維水平，進而提升解決問題的能力。以下是筆者的教學設計。

1.創設問題情境。

有一個聰明的同學到某金店購買黃金，金店里只有一架制造不夠精確的天平 （只有臂長不等），店主分別把黃金放于左右兩盤各稱一次，分別稱得黃金重量為a克和b克。店主笑著對同學說：黃金的重量是克。

問題1-1：你同意店主的做法嗎？

問題1-2：如何找出實際重量？你能把這個問題轉化成一個數學問題嗎？

【師生活動】學生小組討論，分組發表觀點。（可以借鑒指數函數的研究方法，培養學生特殊到一般的研究思想。）

（設計意圖:從實際情境入手，激發學生的學習興趣。通過學生自主探究與展示，教師引導學生將實際問題抽象為數學問題。在實際上課時，學生預習得比較充分，直接說出教師則追問這兩個量分別代表什么，再利用杠桿原理求出黃金的實際重量，舍棄了用賦值法比大小、猜大小的預設，直接給出一般性的猜想。）

2.發現新知。

【師生活動】注意引導學生借鑒函數單調性的證明方式，進行作差比較。學生動手實踐，請學生代表展示證明過程，挖掘不等式中等號成立的條件。

（設計意圖：通過具體問題，培養學生獨立思考、動手實踐以及團隊協作的能力。通過小組討論讓學生的思維碰撞出火花，從而得到不等式的相應證明方法。）

問題2-2：還有沒有其他的證明方法呢？

（設計意圖：通過特值檢驗獲得結論，并進行嚴格證明。通過小組活動的形式對基本不等式的證明方式進行探究，初步引導學生了解證明中的分析法、綜合法。）

問題2-3：這架天平稱出的黃金質量有沒有可能正確呢？

（設計意圖：回歸問題情境，通過不等臂天平兩次稱量質量a、b不可能相等這一事實強化學生對不等式中等號成立條件的理解。實際教學中，學生可能會給出多種證明方法，教師要適當點評，讓學生熟悉基本不等式，并注意到基本不等式等號成立的條件和掌握不等式的常用證明方法。）

3.深化對新知的理解。

問題3-1：兩個正數a，b的算術平均數和幾何平均數之間具有怎樣的大小關系？它們可能相等嗎？

問題3-2：如果a，b不全為正數，不等式還成立嗎？

問題3-3：我們從數的角度研究了基本不等式，通過圖1你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？

問題3-4：你能用兩個等腰直角三角形拼成一個圖形給出基本不等式的幾何解釋嗎？（腰長分別為

問題3-5：如果上述兩個等腰直角三角形的腰長分別為a、b，你能得到什么結論呢？類似的你能得到其他不等關系嗎？

（設計意圖：以形輔數，在圖形中直觀地觀察出基本不等式相關量之間的關系，關鍵是構造出代表的量，找到在圖形中的幾何意義。在教學過程中筆者采用了問題3-3和3-4的兩種方法，原因在于第一種方法通俗易懂，第二種方法可以揭示基本不等式的本質，有利于基本不等式的應用。問題3-5則是讓學生學會舉一反三，教師可在教學中依據學生的回答總結出：基本不等式可總結為其中Δ，□可為具體數字或代數式，只要滿足條件Δ，□均非負即可。）

4.數學應用。

（設計意圖：通過例題對基本不等式進行應用，強調基本不等式使用時應滿足“正”，“等”的條件。）

5.回顧總結。

（1）知識結構圖。

（2）思想方法：數形結合的思想以及化歸的思想方法。

美國心理學家羅杰斯說過：“創造活動的一般條件是心理安全和心理自由，只有心理安全才能導致心理自由，也才能導致學習的創造性。”要讓學生在課堂教學中充分地暴露自己的思維就要讓學生敢想、敢說，這需要我們在教學過程中營造一種平等、自由的課堂教學氛圍，讓學生在課堂中自由發揮才能進行創新創造。在教學中將師生的思維如視頻圖像一般呈現出來，使得師生在一種輕松、和諧課堂氛圍中自然成長。

［1］石志群.對數學核心素養的幾個問題的思辨［J］.教學研究與評論，2016（11）.

［2］肖凌贛.基本不等式的教學導入研究［J］.中國數學教育，2015（04）.

［3］袁泉潤.“重要”不等式為何改為“基本”不等式［J］.數學通訊，2014（09）.

［4］鄭毓信.新數學教育哲學［M］.上海：華東師范大學出版社，2015.

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0028-03

1.田利劍，江蘇省如皋市第一中學（江蘇如皋，226500）教師，一級教師，南通市骨干教師；2.祝存建，江蘇省如皋市第一中學（江蘇如皋，226500）校長辦公室主任，一級教師，南通市骨干教師。

【團隊推薦】

本課教學依據學生、教材實際，遵循教學設計問題化，教學過程活動化。在充分考慮學科知識的科學性、系統性的前提下，對教材進行適當調整重組，以五個環節展示教學流程，以學生學習活動為中心，不斷進行嘗試與探究。變式練習由易到難，循序漸進，讓思維在問題解決中得到發展，使學生在探索問題的過程中，親歷數學對象的發展過程，感受數學求真求美的思維特質。筆者總結這節課有以下幾個亮點：

1.教學線索清晰，定位準確。

教學中以基本不等式的獲得和應用為明線，以數學思想方法的滲透和體會為暗線。在本節課的學習和教學中，明暗線索交相呼應，學生不斷地在學習知識的過程中體會數學思想方法的作用，甚至能在例題教學中嘗試讓學生運用數學思想方法策略性地思考和學習，學生在知識學習的同時更對數學有認識上的提升，這就使得學生的學習過程自然流暢。

2.以動促思，將所研究的內容“可視化”。

數學高度的抽象性和形式化特征，使其極易脫離現實生活。作為教育的數學應該將數學教學當作活動來對待，讓學生通過操作“實驗”，以動促思，將所研究的內容“可視化”，調動多種感官參與學習，進而對其適度抽象，獲得數與形的觀念，創造性地“再發現”知識，體會數學知識的形成和發展的過程。《普通高中數學課程標準（實驗）》指出“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，因此，教師從基本不等式的幾何背景入手，讓學生進行拼圖實驗，創設一個與理性學習內容密切聯系的學習情境，一個現實的數學化過程，讓學生直觀地感受基本不等式的形式，增強學生學習的內驅力，激發他們去“再創造”數學知識，營造了一個和諧生態的課堂。

3.由形到數，活化學生思維。

數學教學是數學活動的教學，數學課堂教學必須重視數學活動，既要注重學生通過操作活動，獲得直觀經驗與感性認識，又要注重問題的數學化，使學生從形式中獲得重要的數學信息，對已有經驗抽象概括并適度形式化，最終達到對數學定理的意義建構。

在田老師的教學中，諸如“今天所學的不等式可以看成當a≥0，b≥0時，在不等式ab中，以分別代替a，b得到的。到此為止，可以得出‘基本不等式’的本質（邏輯起點）是實數平方的非負性。”“基本不等式的結構形式為另一不等式的結構形式為可以填數或式。請同學們自己來填替代Δ，□的數或式，可以得到什么？”等等的總結和引導性話語既加深了學生對基本不等式的本質特征的認識理解，又為不等式的應用奠定了基礎，同時也培養了學生學會運用變化的觀點看待事物的能力。

課堂教學是教師、學生、文本展開的心靈對話。因教師精心、有計劃的預設而提升，因學生動態、不可重復、創新的生成而和諧、精彩！

（推薦人：祝存建）