基于解除約束原理推導(dǎo)一階非完整約束系統(tǒng)的Lagrange方程

高普云

（國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

基于解除約束原理推導(dǎo)一階非完整約束系統(tǒng)的Lagrange方程

高普云

（國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

基于解除約束原理，從達(dá)朗貝爾原理出發(fā)推導(dǎo)一階非完整約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。通過(guò)引進(jìn)新的位移參數(shù)解除非完整約束，使非完整約束系統(tǒng)成為無(wú)約束系統(tǒng)，進(jìn)而推導(dǎo)出系統(tǒng)的不帶乘子的全新的Lagrange方程。

解除約束；非完整約束系統(tǒng)；Lagrange方程；位移參數(shù)；無(wú)約束系統(tǒng)

1 研究背景

自從1894年H. R. Hetrz 引入非完整約束系統(tǒng)這一概念以來(lái)，許多力學(xué)家和數(shù)學(xué)家在這一方面做了大量工作[1]。然而，非完整約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)一直處于爭(zhēng)議之中[2]，其中有如下兩種觀點(diǎn)。

一種觀點(diǎn)認(rèn)為，虛位移應(yīng)滿(mǎn)足 Appell-Ч е т а е в定義[3]。設(shè)qk（k=1, 2, …, n）是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的一階非完整約束可表示為

按 Appell-Ч е т а е в定義，加在虛位移上的條件是

對(duì)于完整約束系統(tǒng)，這個(gè)條件自動(dòng)成立，因?yàn)橥暾s束系統(tǒng)的約束不含廣義速度，其對(duì)廣義速度的偏導(dǎo)數(shù)為零。

從變分角度來(lái)講，加在虛位移上的條件是

式（2）與式（3）完全不同。著名的數(shù)學(xué)力學(xué)家V. I.Arnold認(rèn)為條件（2）是人為加上去的，因?yàn)槔脳l件（2）推導(dǎo)出來(lái)運(yùn)動(dòng)方程的解會(huì)出現(xiàn)“怪行為”[4]。

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，由于最優(yōu)控制問(wèn)題可看作非完整約束系統(tǒng)，最優(yōu)控制問(wèn)題的控制方程的推導(dǎo)是從式（3）出發(fā)的，因此應(yīng)從式（3）出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程[5-7]。

利用約束自身的特點(diǎn)，文獻(xiàn)[8-10]通過(guò)解除約束的方法推導(dǎo)出了3類(lèi)特殊的一階非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。本文通過(guò)引進(jìn)新的位移參數(shù)解除非完整約束，使非完整約束系統(tǒng)成為無(wú)約束系統(tǒng)；再按照完整約束系統(tǒng)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程的方法，推導(dǎo)出一階非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。

2 一階非完整約束系統(tǒng)不帶乘子的Lagrange方程

2.1 引進(jìn)新的位移參數(shù)解除非完整約束

通過(guò)3個(gè)實(shí)例，介紹怎樣引進(jìn)新的位移參數(shù)來(lái)解除非完整約束。

例1 斜面冰橇問(wèn)題。

該問(wèn)題對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)[11]為

式中：(x, y)是冰刀與斜面接觸點(diǎn)的坐標(biāo)；

k為回轉(zhuǎn)半徑；

φ為冰刀與Ox軸的夾角；g為重力加速度；α為斜面的傾角。系統(tǒng)的約束方程為

式中：z為積分變量；t為時(shí)間。

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)（4）變?yōu)?/p>

因此，這個(gè)系統(tǒng)變成以新位移參量u和φ為獨(dú)立變分變量的無(wú)約束系統(tǒng)。

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)使得泛函的變分為零，即δI=0。式中t1為積分常數(shù)，它由初始條件決定。

通過(guò)直接計(jì)算得

因?yàn)棣膗與δφ是相互獨(dú)立的，由δI=0可得

例2 均質(zhì)球在粗糙的圓錐面內(nèi)純滾動(dòng)問(wèn)題。

該問(wèn)題對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)[11]為

式中：m為球的質(zhì)量；

r為球與圓錐面的接觸點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離；

α為半錐角；

a為球的半徑；

γ為兩平面的夾角；

k為回轉(zhuǎn)半徑；

φ, χ+γ, θ為 3 個(gè)歐拉角。系統(tǒng)的約束方程為

由式（9）可得

對(duì)式（10）積分得

由式（8）和式（11）可得

因此，該系統(tǒng)的2個(gè)約束被解除，從而系統(tǒng)成為無(wú)約束系統(tǒng)，可以按例1的方法推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)方程。

例3 三粗糙均質(zhì)圓柱體問(wèn)題。

該問(wèn)題對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)[11]為

式中：(x, y)為上圓柱質(zhì)心的兩水平坐標(biāo)；

A為上圓柱繞通過(guò)中心鉛垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

C為上圓柱繞通過(guò)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

θ為上圓柱母線(xiàn)與Ox軸的夾角；

J1, J2分別為下面兩圓柱對(duì)于母線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

φ為上圓柱的轉(zhuǎn)角；

φ1, φ2為下面兩圓柱的轉(zhuǎn)角；

L0為常數(shù)。

系統(tǒng)的約束方程為

式（14）～（17）中：R為上面圓柱的半徑；

r為下面兩圓柱的半徑；

a為常數(shù)；

α為下面兩圓柱母線(xiàn)的夾角。

由式（14）和式（15）可得

由式（16）和式（17）可得

由式（18）和式（20）可得

因此有

式中u是引進(jìn)的位移參數(shù)。

由式（18）和式（22），如果還引進(jìn)位移參數(shù)v使得

就解除了約束式（18）（20）。

由式（19）（22）（23）可得

因此，約束式（19）被解除。

由式（19）（21）（22）可得

由式（18）和式（22），通過(guò)積分可得

利用式（27）和式（23）可得

綜合式（28）和式（22）～（24）可得

因此，該系統(tǒng)的所有約束被解除。

從上面3個(gè)例子可以看出，可通過(guò)引進(jìn)位移參數(shù)u1, u2, …, un-h，從約束方程中解出式中：；

是由約束條件決定的關(guān)于時(shí)間、新位移變量及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。

2.2 推導(dǎo)不帶乘子的Lagrange方程

將 式（29） 代 入 系 統(tǒng) 的Lagrange函 數(shù)（其中）可得

其中

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)使得作用泛函

的變分為零。事實(shí)上，在本文的3個(gè)例子中，Lagrange函數(shù)只含有一重積分，即可寫(xiě)成

的形式，從而作用泛函變?yōu)?/p>

下面只從式（30）出發(fā)推導(dǎo)Lagrange方程。對(duì)于一般情況，只給出Lagrange方程，而不給出詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程。

對(duì)式（30）求變分得

為了方便，記

利用分部積分法可得

由式（31）～（33）可得

由δI=0得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：i=1, 2, …, n-h；Ci是積分常數(shù)。

對(duì)于一般情況，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中Ci, De和Eile是積分常數(shù)，它們由初始條件決定。

如果Lagrange函數(shù)中不含σi，那么式（35）退化為式（34）。

可以直接用式（34）推導(dǎo)出例1～3的運(yùn)動(dòng)方程，這些直接的計(jì)算從略。

3 結(jié)論

通過(guò)引進(jìn)新位移變量解除非完整約束，使非完整約束系統(tǒng)成為無(wú)約束系統(tǒng)。對(duì)于無(wú)約束系統(tǒng)，不需要考慮加在虛位移上的條件，從而完全可以按完整約束系統(tǒng)的方法來(lái)推導(dǎo)非完整約束系統(tǒng)的不帶乘子的Lagrange方程。完整約束系統(tǒng)與非完整約束系統(tǒng)具有如下區(qū)別：

1）對(duì)于完整約束系統(tǒng)，在引進(jìn)新的位移參數(shù)后，所有的廣義坐標(biāo)都是新參數(shù)的函數(shù)；對(duì)于非完整約束系統(tǒng)，在引進(jìn)新的位移參數(shù)后，所有的廣義坐標(biāo)不僅是新參數(shù)的函數(shù)，而且與新參數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，還含有積分。

2）對(duì)于完整約束系統(tǒng)在解除約束后，系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)只與新參數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)；對(duì)于非完整約束系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)與新參數(shù)以及它們的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，并且還含有積分。

3）完整約束系統(tǒng)與非完整約束系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式不同。

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Derivation of Lagrange Equations of the First-Order Nonholonomic System Based on the Principle of Removal of Constraint

GAO Puyun
（School of Aerospace Science，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

Based on the principle of removal of constraint, a motion equation of the first-order nonholonomic constraint system has been derived from the d'Alambert principle. By introducing new displacement parameters, the fi rst-order nonholonomic constraints are lifted, thus making the nonholonomic system an unconstrained system, with the new Lagrange equations successfully derived without multipliers.

lifting of constraints；nonholonomic system；Lagrange equation；displacement parameter；unconstrained system

O313.3

A

1673-9833(2017)05-0001-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.05.001

2017-08-19

高普云（1962-），男，湖南攸縣人，國(guó)防科技大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事動(dòng)力學(xué)與控制方面的教學(xué)與研究，E-mail：gfkdgpy@hotmail.com

（責(zé)任編輯：鄧光輝）