基于殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫模型的校準(zhǔn)間隔預(yù)測(cè)方法*

紀(jì)伊琳，錢政

（北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100191）

0 引 言

測(cè)量?jī)x器受各種外界環(huán)境因素和內(nèi)部元器件老化的影響，準(zhǔn)確度會(huì)隨著儀器使用時(shí)間的延長(zhǎng)而逐漸降低，經(jīng)過一段時(shí)間就會(huì)降低到難以滿足預(yù)期使用要求的程度。為確保儀器的準(zhǔn)確度符合使用的要求，通常要求按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的時(shí)間間隔對(duì)測(cè)量?jī)x器進(jìn)行校準(zhǔn)。連續(xù)兩次校準(zhǔn)的時(shí)間間隔定義為校準(zhǔn)間隔。通過對(duì)電子儀器計(jì)量校準(zhǔn)情況的調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)幾乎所有的電子儀器校準(zhǔn)間隔均為一年。實(shí)際上，部分電子儀器使用頻率低、環(huán)境良好，且連續(xù)多年校準(zhǔn)結(jié)果均未超差，該部分儀器的校準(zhǔn)間隔完全可以適當(dāng)延長(zhǎng)；而部分電子測(cè)量?jī)x器由于使用環(huán)境惡劣，且工作時(shí)間長(zhǎng)、頻率高，其量值特性參數(shù)變化較大，容易出現(xiàn)超差情況，相應(yīng)地校準(zhǔn)間隔應(yīng)該有所縮短。因此，將校準(zhǔn)間隔統(tǒng)一規(guī)定為某一固定值并不合理。無論是校準(zhǔn)間隔過短或者過長(zhǎng)，都會(huì)帶來諸多問題。校準(zhǔn)間隔選取過短，將導(dǎo)致儀器使用成本的上升，并降低儀器的使用效率；校準(zhǔn)間隔選取過長(zhǎng)，儀器在超出允許誤差限的情況下使用的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)加大［1］。因此，根據(jù)儀器的歷史數(shù)據(jù)和實(shí)際使用情況來進(jìn)行校準(zhǔn)間隔的預(yù)測(cè)，能夠很大程度地避免上述問題，具有重要的工程應(yīng)用前景。

國(guó)際和國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)均提出應(yīng)根據(jù)儀器的自身特征、性能要求和使用情況來確定其校準(zhǔn)周期［2-3］，以提高校準(zhǔn)工作的效率。由于實(shí)際情況存在巨大的差異，文件中并未明確規(guī)定校準(zhǔn)間隔確定的詳細(xì)步驟，僅給出幾個(gè)備選的方法，因此如何確定校準(zhǔn)間隔仍有待進(jìn)一步的研究［4-5］。確定校準(zhǔn)間隔的方法，通常是通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)建模（包括統(tǒng)計(jì)模型和非統(tǒng)計(jì)模型），推斷數(shù)據(jù)未來的發(fā)展變化趨勢(shì)，判斷其是否落在合格區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而得到校準(zhǔn)間隔的預(yù)測(cè)值。其中，統(tǒng)計(jì)模型的建立要求掌握與待校準(zhǔn)儀器同一型號(hào)的多臺(tái)設(shè)備的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)，并且只在儀器可靠性的變化符合指定模型的時(shí)候才能得到比較準(zhǔn)確的校準(zhǔn)結(jié)果。然而，實(shí)際的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)（尤其在校準(zhǔn)初期）很難滿足上述的條件［6］，通常只能獲得少數(shù)同型號(hào)儀器在某些年份的歷史數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)［7］采用灰色GM（1，1）模型對(duì)歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和建模，從而預(yù)測(cè)出測(cè)量設(shè)備失效和需要校準(zhǔn)的時(shí)間，實(shí)現(xiàn)對(duì)其質(zhì)量的管理和控制。然而，一旦校準(zhǔn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)較大的波動(dòng)性，GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度就會(huì)下降，表現(xiàn)為預(yù)測(cè)結(jié)果的殘差較大。

鑒于灰色理論以具有“小樣本”、“貧信息”特點(diǎn)的不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象［8］，本文采用灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的總體發(fā)展趨勢(shì)，求得真實(shí)值與預(yù)測(cè)值之間的殘差，繼而采用馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)測(cè)殘差在總體趨勢(shì)下的未來狀態(tài)變化，從而建立基于殘差補(bǔ)償?shù)幕疑R爾科夫預(yù)測(cè)模型，給出了校準(zhǔn)間隔預(yù)測(cè)的具體步驟，使方法的有效性得到實(shí)例驗(yàn)證。

1 建模思想

測(cè)量設(shè)備的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)是多種因素共同作用的結(jié)果，其中某些因素起到主導(dǎo)作用，另一部分因素對(duì)結(jié)果產(chǎn)生不穩(wěn)定的影響。因此，可以把測(cè)量設(shè)備的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)序列分成具有確定性的趨勢(shì)項(xiàng)和具有波動(dòng)性的隨機(jī)項(xiàng)［9］。其中，趨勢(shì)項(xiàng)表征了設(shè)備本身固有的特性和使用條件等因素導(dǎo)致的穩(wěn)定、長(zhǎng)期的發(fā)展態(tài)勢(shì)；隨機(jī)項(xiàng)則表征了導(dǎo)致數(shù)據(jù)偏離穩(wěn)定發(fā)展趨勢(shì)的各種隨機(jī)擾動(dòng)。兩者性質(zhì)不同，故本文采用不同的方法進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，以求可以達(dá)到較高的準(zhǔn)確度。

測(cè)量設(shè)備的校準(zhǔn)周期比較長(zhǎng)，通常以年為單位，因此導(dǎo)致了校準(zhǔn)數(shù)據(jù)量非常有限，對(duì)數(shù)據(jù)量要求較大的算法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，并不適用于這種情況。而灰色系統(tǒng)理論恰好適用于小樣本的研究對(duì)象，因此本文采用GM（1，1）模型對(duì)歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到其總體發(fā)展趨勢(shì)。受各種隨機(jī)因素的影響，GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)值會(huì)出現(xiàn)一定程度的偏差。本文求出GM（1，1）模型擬合原始數(shù)據(jù)的殘差，通過馬爾科夫預(yù)測(cè)模型對(duì)殘差進(jìn)行合理的狀態(tài)劃分，用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)測(cè)狀態(tài)的發(fā)展變化，能夠彌補(bǔ)灰色模型的不足，以較高的準(zhǔn)確度獲得隨機(jī)項(xiàng)的預(yù)測(cè)結(jié)果。兩者結(jié)合可以優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)（如圖1所示），實(shí)現(xiàn)對(duì)電子設(shè)備校準(zhǔn)間隔的科學(xué)預(yù)測(cè)，從而起到輔助決策的作用。

圖1 灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型Fig.1 Grey-Markov prediction model

2 殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型

2.1 灰色 GM（1，1）模型建模

殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的建立先要依據(jù)灰色理論，對(duì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的建模機(jī)理如下所述［10］。

假定包含n個(gè)采樣數(shù)據(jù)的原始數(shù)據(jù)序列為：

經(jīng)過一次累加生成后數(shù)據(jù)序列變成：

稱 x（0）（k）+ax（1）（k）=b為 GM（1，1）模型的原始形式。其中 a是發(fā)展系數(shù)，a，b是微分方程的參數(shù)。

對(duì)參數(shù)a，b的估計(jì)如下：

對(duì) X（1）作緊鄰域生成，得到：

依據(jù)灰色理論建立一階微分方程：

該方程的解即為X（1）的預(yù)測(cè)值。

對(duì)式（7）做累減生成，可得到還原值：

這樣，我們就得到了歷史數(shù)據(jù)的灰色預(yù)測(cè)模型。不可避免地，歷史數(shù)據(jù)中包含的隨機(jī)因素（如環(huán)境因素）也被加入到模型中，進(jìn)而對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性造成了負(fù)面影響。

比較灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)的歷史數(shù)據(jù)，可以看到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)具有發(fā)展平穩(wěn)的特點(diǎn)，而歷史數(shù)據(jù)則具有較明顯的波動(dòng)特征。由于隨機(jī)因素的影響就是使校準(zhǔn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出波動(dòng)性的特征，因此，可以將預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)之間的殘差作為隨機(jī)項(xiàng)的表征，用馬爾科夫?qū)埐钸M(jìn)行狀態(tài)劃分和預(yù)測(cè)，進(jìn)而彌補(bǔ)灰色預(yù)測(cè)模型的不足。

2.2 殘差的馬爾科夫狀態(tài)預(yù)測(cè)

殘差即校準(zhǔn)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)項(xiàng)，定義為真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的差值，是符合馬爾科夫鏈特點(diǎn)的非平穩(wěn)隨機(jī)序列，表征了校準(zhǔn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)因素的影響，因此可以依據(jù)馬爾科夫理論進(jìn)行狀態(tài)劃分和狀態(tài)預(yù)測(cè)。

在馬爾科夫模型的建立中，如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)的劃分是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)模型的預(yù)測(cè)效果有很大的影響。狀態(tài)的劃分包括狀態(tài)數(shù)量和狀態(tài)區(qū)間上下限的確定，如果狀態(tài)劃分不合理，將嚴(yán)重影響預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確度，難以得到可靠的預(yù)測(cè)值。現(xiàn)有的狀態(tài)劃分往往是依據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況人為確定的。為了科學(xué)合理地劃分不同的狀態(tài)，本文采用了如下的步驟。

根據(jù)馬爾科夫模型，數(shù)據(jù)序列由狀態(tài)Ei，經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移之后到狀態(tài)Ej的概率稱為k步轉(zhuǎn)移概率pij（k）。當(dāng) k=1，就是一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 pij。假設(shè)根據(jù)樣本資料可知狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)為mi，由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài) Ej的次數(shù)為 mij，則一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：

如果把系統(tǒng)所有的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率構(gòu)造成一個(gè)矩陣，那么這個(gè)矩陣就叫做一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。表達(dá)式如下：

前文根據(jù)測(cè)量?jī)x器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將數(shù)據(jù)劃分為四個(gè)狀態(tài)，因此，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣應(yīng)為四階方陣。由于已經(jīng)確定了殘差序列中各個(gè)元素對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，統(tǒng)計(jì)序列中ε（0）各個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的具體頻數(shù)，用式（10）計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，可得一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P：

假設(shè)初始狀態(tài)向量s0，根據(jù)馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，s1=s0P，s2=s0P2，…，sn=s0Pn，可以得到預(yù)測(cè)狀態(tài)向量。根據(jù)預(yù)測(cè)狀態(tài)向量中的最大值，判斷殘差轉(zhuǎn)移后最有可能的狀態(tài)Ei，隨機(jī)項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果最可能為狀態(tài)Ei對(duì)應(yīng)區(qū)間的中位數(shù)：

式中Ciup為狀態(tài)Ei對(duì)應(yīng)區(qū)間的上限；Cidown為區(qū)間的下限。

2.3 殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型

以上完成了模型的趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)的估計(jì)，計(jì)算兩者的代數(shù)和，則最終的估計(jì)結(jié)果為：

隨著時(shí)間的推移，影響系統(tǒng)的隨機(jī)因素可能發(fā)生改變，因此，依據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立的預(yù)測(cè)模型只對(duì)緊隨其后的幾個(gè)數(shù)據(jù)有較高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。實(shí)際應(yīng)用中，可以考慮舍棄距離當(dāng)前時(shí)刻較遠(yuǎn)的歷史數(shù)據(jù)，并將新信息加入模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，以獲得較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

在某電子測(cè)量設(shè)備校準(zhǔn)間隔確定方法研究項(xiàng)目中，為了確定科學(xué)合理的校準(zhǔn)間隔，項(xiàng)目對(duì)美國(guó)某公司的型號(hào)為Fluke45的數(shù)字萬用表進(jìn)行了長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，得到了能反映測(cè)量設(shè)備性能的關(guān)鍵參數(shù)的校準(zhǔn)值。本文對(duì)這部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行研究，通過對(duì)歷史數(shù)據(jù)建立模型來預(yù)測(cè)其后續(xù)的發(fā)展變化是否超出合格范圍的上下限，進(jìn)而判斷未來的一段時(shí)間內(nèi)校準(zhǔn)間隔是否需要進(jìn)行調(diào)整。這部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示。

表1 Fluke45的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)Tab.1 Historical calibration data of Fluke45

給定10 V電壓作為標(biāo)準(zhǔn)值校準(zhǔn)數(shù)字萬用表，根據(jù)數(shù)字萬用表的校準(zhǔn)規(guī)程，如果作為關(guān)鍵參數(shù)的電壓校準(zhǔn)值落在區(qū)間［9.98，10.02］內(nèi)，則表示校準(zhǔn)結(jié)果合格。將數(shù)字萬用表Fluke45的校準(zhǔn)值作為原始數(shù)據(jù)序列，分別用灰色GM（1，1）模型和殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到的結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 灰色GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.2 Prediction results of GM（1，1）model

從圖2中可以看出，灰色GM（1，1）模型很好地跟隨了關(guān)鍵參數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)。比較灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)的歷史數(shù)據(jù)，可以看到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)具有發(fā)展平穩(wěn)的特點(diǎn)，而歷史數(shù)據(jù)則具有較明顯的波動(dòng)特征。由于隨機(jī)因素的影響正是使校準(zhǔn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出波動(dòng)性的特征，可以得知現(xiàn)有的灰色預(yù)測(cè)模型仍不能體現(xiàn)出隨機(jī)因素對(duì)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的影響。

圖3 殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.3 Prediction results of residual compensation Grey-Markovmodel

因此，可以將預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)之間的殘差作為隨機(jī)項(xiàng)的表征，用馬爾科夫?qū)埐钸M(jìn)行狀態(tài)劃分和預(yù)測(cè)，進(jìn)而彌補(bǔ)灰色預(yù)測(cè)模型的不足。圖3給出了殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)結(jié)果的前八個(gè)點(diǎn)沒有引入馬爾科夫預(yù)測(cè)模型的修正，其結(jié)果與圖2相同；隨后四個(gè)點(diǎn)引入了馬爾科夫預(yù)測(cè)模型對(duì)殘差的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而修正原有的預(yù)測(cè)值。

表2給出了2011年～2014年兩個(gè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差，其中，模型1和模型2分別是灰色GM（1，1）模型和殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型。對(duì)比兩個(gè)模型的相對(duì)誤差，可以看出，加入殘差補(bǔ)償?shù)哪Ｐ途哂懈叩念A(yù)測(cè)精度，相對(duì)誤差明顯小于單純的灰色 GM（1，1）模型。

表2 灰色GM（1，1）模型與殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of prediction results of GM（1，1）model and residual compensation Grey-Markov model

因此，可以得出以下結(jié)論：修正后的模型可以反映隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)的變化，其擬合值更接近真實(shí)的校準(zhǔn)結(jié)果，相比灰色GM（1，1）模型具有更高的準(zhǔn)確度。建立殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型對(duì)校準(zhǔn)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以看出數(shù)字萬用表的電壓校準(zhǔn)值在未來兩年不會(huì)超出合格區(qū)間［9.98，10.02］，因此，這段時(shí)間內(nèi)可以不對(duì)數(shù)字萬用表進(jìn)行校準(zhǔn)，校準(zhǔn)間隔可以適當(dāng)延長(zhǎng)。

在校準(zhǔn)數(shù)據(jù)較少的情況下，殘差灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型除了預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)總體的走向，還體現(xiàn)了殘差隨機(jī)變化的過程，灰色預(yù)測(cè)與馬爾科夫預(yù)測(cè)的結(jié)合很好地反映了測(cè)量?jī)x器關(guān)鍵參數(shù)的發(fā)展過程，適于校準(zhǔn)間隔的預(yù)測(cè)與優(yōu)化。

4 結(jié)束語

文章基于灰色預(yù)測(cè)和馬爾科夫預(yù)測(cè)的各自優(yōu)勢(shì)，采用灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的總體趨勢(shì)，求得殘差后利用馬爾科夫模型分析殘差的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，將隨機(jī)因素的影響加入預(yù)測(cè)模型中，使得模型在數(shù)據(jù)受到波動(dòng)性較大的隨機(jī)因素影響的情況下仍有較好的預(yù)測(cè)能力，提高了模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。

實(shí)際校準(zhǔn)數(shù)據(jù)表明，殘差補(bǔ)償灰色馬爾科夫模型可以有效預(yù)測(cè)測(cè)量?jī)x器關(guān)鍵參數(shù)隨時(shí)間的發(fā)展和變化，實(shí)現(xiàn)校準(zhǔn)間隔的預(yù)測(cè)，有效地避免校準(zhǔn)間隔選取不合理的問題，提高校準(zhǔn)工作的效率。