碰撞沖擊系統的動力學特性分析

郭建宏

摘 要：文章建立了碰撞沖擊系統的運動微分方程，利用模態疊加的方法推導出系統周期解解析表達式，對系統周期運動進行數值模擬。建立該碰撞振動系統的Poincaré映射[1]，通過對其線性化矩陣計算判斷周期解的穩定性[2]，最后對系統由周期運動通向混沌的過程進行了數值仿真。

關鍵詞：碰撞沖擊；周期運動；Poincaré映射；混沌

中圖分類號：O322 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）35-0029-02

通常在機械系統中由于結構的需要或者疲勞磨損會使零部件之間出現一定的間隙[3]，加上機械系統的本身振動致使這些零部件之間產生碰撞振動。碰撞振動作為典型的非光滑動力學現象的研究對疲勞磨損和非光滑因素的確定具有一定的指導意義。如齒輪傳動系統，具有后座特性的槍炮，船舶的系留機構，機器人操作器與環境接觸和脫離的過程等。此類系統可以抽象為兩個質量塊之間通過一個帶有彈簧-阻尼支撐發生碰撞，這類系統的向量場是連續的[4]，但由于間隙和彈性約束引起的剛度突變，從而使系統的向量場的Jacobian矩陣不連續，因此也稱為連續非光滑系統[5-6]。深入研究這些具有間隙和運動約束的碰撞振動系統對了解振動系統的運動機理具有非常重要的意義。

1 動力學模型及其微分方程

3 數值模擬

數值模擬如圖1所示的單自由度分段線性非光滑彈性碰撞振動系統的動態響應，并研究系統的相關動力學特性。在圖1所示的系統動力學模型中，在分界面處x=B處取無量綱系統參數：m=1，k1=0.08，k2=1，c1=0.05，c2=0.004，B=0.1。為了描述系統由倍周期分岔通向混沌的過程，需要配合相平面圖，Poincaré映射圖和時間歷程圖進行分析振動系統的運動穩定性。如圖2是振動系統在激勵作用下激振頻率？棕分別取2.2823，2.4388，2.4788，2.5123時，系統相應的的相圖和Poincaré映射圖和時間歷程圖。從圖中可以看出，？棕從初始值起系統開始處于穩定的周期一運動，在？棕=2.2823時系統發生如圖（a）所示的周期一運動。但是隨著？棕的不斷增大，振動系統開始進入到多周期階段。在？棕=2.4388時系統處于如圖（b）所示的周期二運動，當？棕=2.4788時系統處于如圖（c）所示的周期四運動，隨著？棕的繼續增大，在？棕=2.5123時系統發生混沌運動，如圖（d）所示。由此可見，對于單自由度的線性非光滑系統的動力學行為研究是一個復雜的過程，振動系統的運動周期，運動的穩定性都要受到很多因素的制約。

4 結束語

本文選取了一個單自由度的振子與彈性約束發生碰撞時的力學模型，截取系統碰撞前后的瞬時狀態為Poincaré截面，其中Poincaré映射是只含有相位角變量的一維映射；通過研究單自由度振動系統的動力學行為，進而證明了這種非光滑動力學系統一般為多參數系統，參數的變化將會引起系統的碰撞振動本質相應的發生變化，對單自由度系統的碰撞振動理論有了更深的了解。

參考文獻：

[1]羅冠煒，謝建華，孫訓方.兩自由度塑性碰撞振動系統的周期運動與穩定性[J].蘭州大學學報，2000（03）.

[2]羅冠煒.碰撞振動系統的復雜分岔與混沌[J].工程力學增刊，2001.

[3]丁旺才，謝建華.碰撞振動系統分岔與混沌的研究進展[J].力學進展，2006，35（4）：513-524.

[4]張惠，丁旺才，李飛.兩自由度含間隙和預緊彈簧碰撞振動系統動力學分析[J].工程力學，2011，3：32-40.

[5]G.W.Luo.Dynamics of an impact-forming machine.International Journal of Mechanical Sciences，48（2006）1295-1313.endprint