方程，想說愛你不容易
——總復習課《求高》教學實踐與反思

江蘇南通市天生港小學 繆 謙

方程，想說愛你不容易
——總復習課《求高》教學實踐與反思

江蘇南通市天生港小學 繆 謙

方程是小學數學中“數與代數”這一課程內容的重要組成部分。“用方程解”既是學生解決簡單實際問題時常用的方法，又是學生在解決逆向思考問題時的一種模型。建立和求解“模型”的過程，優化學生的認識，“方程優先”的策略得到了學生真正的認同。

小學數學 方程 教學實踐 拓展發散

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第二學段內容標準中表述為“能用方程表示簡單情境中的等量關系，了解方程的作用”；而在第三學段內容標準中表述為“能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”。為此，蘇教版小學數學教材在第二學段中安排了專門的方程教學單元，涉及了方程的解法及用方程解決簡單的實際問題。

可筆者在組織學生總復習時，發現在“圖形與幾何”的部分中“求幾何形體的高”這類問題出現的頻度很高。究其原因，有的教師認為是“求高”問題在生活中的應用價值很大。但筆者認為從教材中此類問題總是提倡“用方程解”的現象來看，更重要的原因應是“求高”問題是逆向運用幾何形體公式的典型問題，而這類問題的學習有助于學生初步形成模型思想，是實現第二學段方程教學目標的絕好素材，具有銜接二、三學段數學教學的重要意義。但實際復習中，學生解決此類問題時用方程解的意愿不強，方程意識在學生心中遠未達到課標要求。

一、課前調查——“用方程解”，師生眼中的“雞肋”

究竟是什么原因讓方程在學生眼中成為“雞肋”？這是某個班級的個別情況，還是畢業班學生中的普遍現象？帶著這樣的疑問，筆者在一定的范圍內進行了調查分析。

首先筆者在教材中挑選了難易程度不同的三道關于求高的問題，在4所學校的7個班級做了課前的調查測試。獲得如下數據：

表1 “求高”問題正確率統計表

表2 “求高”問題錯因分析統計表

表3 “求高”問題方法選擇統計表

從調查正確率的數據來看，不同班級正確率有一定的差距，這樣的差距一方面是因為生源素質、家長和學生對學習重視程度有差別；另一方面是因為教師對于解決此類問題必要的雙基訓練有差別，導致學生對問題解決的感悟程度不同，如有些班級的學生對于涉及“高”的公式掌握熟練，這是因為有的班級教師要求在逆推公式前先把公式默寫出來，這些班級的正確率就明顯高于其他班級。但總體來看，正確率偏低，大約60%左右。

從錯誤原因和方法選擇的調查來看，學生選擇用方程解的意愿不強，選擇變換公式的學生占絕大多數，但變換公式的過程中出錯率較高。為什么選擇用方程解的學生少之又少呢？通過訪談學生和老師，筆者找到了兩方面的原因：一方面方程的格式煩瑣，學生懶于書寫的學習慣性造成了怕用方程的想法；另一方面，教師方程教學意識淡薄，忽略了教材提倡“用方程解”“求高”這樣的問題，在做對即可的思想下功利地迎合了學生的選擇。

基于以上的課前檢測和分析，筆者決定重組總復習“圖形與幾何”中的相關習題，以“求高”為題上一堂總復習課。

二、因勢利導——從“一廂情愿”到“自然選擇”

在引入課題后，筆者出示了一組求高的問題，意圖是通過學生的解答，揭示出求高的兩種方法：一是“變換公式”；二是“用方程解”。

在明確兩種方法后，筆者又出了這樣一組問題：

（1）一個圓柱的側面積是37.68平方分米，底面直徑是4分米，高是多少分米？

（2）已知梯形的面積是36平方米，上底是3米，下底是5米，高是多少米？

（3）求下圖這個平行四邊形的高？（單位：厘米）

這樣設計是試圖讓學生根據不同的問題情境自主選擇兩種方法，初步體會“用方程解”的好處。但結果仍然很少有學生選擇列方程解，之后的展示環節無法進行。試教的尷尬讓人感覺到這樣的教法有些“一廂情愿”，學生被動、被迫地接受“用方程解”的方法。

重新設計時，筆者做了如下調整：先安排了同桌兩人互動回憶和變換公式的環節。這個過程中學生把所學的與高有關的公式進行了整理，并且變換成求高的公式。這樣就順應了學生的學情和方法選擇的傾向性，調動了學生的主觀能動性，同時讓學生相互提醒、觸發思考。而后，引導學生對課前測試中的正確率和典型錯例進行分析，學生在分析中感受到變換公式容易出差錯，這樣就自然地引出了“用方程解”的應對方法。這樣，想到“用方程解”的方法是在從學生喜歡的“變換公式”出發的基礎上，引導學生發現了“變換公式”方法的優劣后，做出的應然選擇。

在之后的那一組求高的練習中，學生對于兩種方法的取舍，顯得自然、自愿。求圓柱的高是變換公式，求梯形的高則列方程，筆者問學生：“為什么這樣選擇？”學生答：“求圓柱的高變換公式極其簡單，而梯形的公式比較復雜，變換公式則比較麻煩。”如此明智的選擇說明他們已經自然地形成了初步的策略意識，這為整堂課形成一個由線索到方法到策略的思想系統奠定了堅實的基礎。到第三題時，許多學生同時選用兩種解法，學生的選擇“用方程解”的概率有了令人激動地提升。

三、植入微課——“模型思想”展現方程優勢

教材中求高問題難度的最高點出現在等積變換問題之中，如熔鑄問題、排水問題等。面對難點，如何激發學生探索的興趣，進一步體會方程解法的優勢，進而確立“方程優先”的解題策略呢？

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。

筆者選擇了用微課的方式，以“模型思想”助力展示方程優勢。隨后設計了等積變換的問題情境。實施的效果是學生牢牢地記住了一個數學模型，即“變換前的體積=變換后的體積”。通過細說，分解用方程解的過程，學生既體會到列方程的便利——正向順應題意，又掌握了解方程時復雜計算的處理技巧——方程兩邊同時約去π。這樣把學生的興奮點提到了一個空前的高度，也就迎來了思維上的高潮。學生躍躍欲試，在后面出現的類似練習中，學生優先選擇“用方程解”，過程中感覺得心應手，學有所獲。微課的植入，形式上起到了調節的作用，帶動了學生的沉浸、投入，建立和求解“模型”的過程，優化了學生的認識，“方程優先”的策略得到了學生真正的認同。

四、拓展發散——水到渠成的“方程意識”

試教中，在微課環節結束后，筆者讓學生進行自我小結，談談體會與收獲。事實上，學生完全能根據板書說出他們的感受。一次實驗課上，學生總結時說：“我懂了什么是求高的問題。”什么是求高的問題呢？求長方形的寬能算求高的問題嗎？方程優先的策略是不是僅僅局限于在求高時使用？這讓筆者意識到，這堂課還可以延伸和拓展。

如何讓學生在解決問題時自覺“用方程解”，形成“方程意識”？應該有一個引導學生舉一反三、觸類旁通的過程。再次修改教案時，筆者以類推拓展代替了空洞總結。首先，讓學生通過“已知圓柱的體積和底面積，求高”與“已知圓柱體積和高，求底面積”的題組對比，體會“求底面積和求高的解決方法相同”“求底面積”的問題可以視作“求高”的問題。接著，出示長方形周長計算公式，啟發思考：根據這個公式，求什么的問題可以視作是求高的問題？進而讓學生思考：還有哪些問題可以視作求高的問題？學生的思路在圖形與幾何知識范圍內游走。最后，筆者又出示了相遇問題的等量關系式，繼續啟發學生思考：根據這個常見的數量關系式，你覺得求什么的問題可以視作是求高的問題？學生的思路一下子被打開了，有一種茅塞頓開的感覺。逆向思考求解的例子在后來的學習中層出不窮。?