一例拋物線焦點弦中點軌跡的幾種求法

姜學杰

摘要：拋物線焦點弦問題蘊含豐富的數學思想，對這一問題的研究有助于挖掘拋物線的性質，也有助于學生拓展解題思路、掌握基本的數學思想方法。

關鍵詞：拋物線；焦點弦；中點軌跡

二次曲線焦點弦中點軌跡的求法是平面解析幾何中最常見、最基本的方法之一。對該問題的切入點不同，相應的求解方法也不同，而不同的方法又體現著不同的數學思想，因而對這一問題的深入研究對深刻理解二次曲線以及學生掌握基本的數學思想方法大有大有裨益。本文以拋物線為例來談這一問題。

例 求拋物線y2=2px過焦點的弦的中點軌跡方程。

思路一：常規解法（線線相交，找交點連線的中點），用韋達定理

解法一：如圖，PQ是過焦點F的弦，M是PQ的中點，設M（x，y），這P（x1，y1），Q（x2，y2）。

設PQ所在直線的方程為

①

由 得 ，代入①得

，化簡得

②

由韋達定理，有

③

代入①并化簡得

這就是所求的M的軌跡方程。

思路二：用點線從屬關系和韋達定理

解法二：P、Q、M、F滿足的關系式為

由④、⑤求出x1、x2并代入③化簡得

⑥

④+⑤得

⑦

⑦+⑥×2得

上式即為所求軌跡方程。

解法三：解法二中⑤-④得

代入解法一的①得 。

思路三：定義法

解法四：分別過P、Q作準線的垂線PR、QS于R、S，過F作PQ的垂線FT交準線于T，連接PT、QT，易知⊿RFS、⊿PTQ都是直角三角形，且FK、FT分別是它們斜邊上的高，所以

│FT│2=│PF│·│QF│，即

解法五：由上圖可知，

即 ，

化簡得 。

思路四：用四點共線求解

解法六：

將 代入上式并化簡得 ，endprint