漫話“設(shè)而不求”提升“運算素養(yǎng)”*

南京市第二十九中學(xué) (210036)

耿 健 郭建華(指導(dǎo)教師)

漫話“設(shè)而不求”提升“運算素養(yǎng)”*

南京市第二十九中學(xué) (210036)

耿 健 郭建華(指導(dǎo)教師)

“設(shè)而不求”思想在解題中常常用到.什么是“設(shè)而不求”呢？在數(shù)學(xué)解題中，有些題型要求設(shè)立一些與題目中沒有直接給出的中間變量，適時消除這些中間變量，從而構(gòu)建“未知”和“已知”之間的關(guān)系，為問題的解決起到了紐帶的作用，這就是“設(shè)而不求”[1].采用“設(shè)而不求”思想解題，關(guān)鍵是對參數(shù)避而不求，而是通過巧妙運算，精妙推理，合理構(gòu)造，使得參數(shù)悄然離去，這樣不但可以避免由于盲目推演而造成的循環(huán)運算，而且實現(xiàn)解題的準(zhǔn)確、快速、簡捷的效果，不斷提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

1.設(shè)而不求，巧求值問題

2.設(shè)而不求，巧解函數(shù)零點

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)lnx，是否存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式2λ≥f(x)有解？若存在，請求出λ的最小值；若不存在，請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)．

解:不存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式2λ≥f(x)有解.

3.設(shè)而不求，巧證定直線

例3 已知圓C：(x-3)2+(y-1)2=5，過圓C內(nèi)一定點Q(s,t)(不同于點C)任作一條直線與圓C相交于點A，B，以A、B為切點分別作圓C的切線PA，PB，求證：點P在定直線l上，并求出直線l的方程.

分析:由于該問題中涉及的動點較多，顯然用“設(shè)點法”求解，即設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，然后用點坐標(biāo)求出所對應(yīng)的切線方程，要求的目標(biāo)是點P在定直線l上，因此求解的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，對關(guān)系式巧妙的整合、運算，消去參數(shù)x1,y1,x2,y2即可.

解:設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則在點A處的切線方程為(x-3)(x1-3)+(y-1)(y1-1)=5，在點B處的切線方程為(x-3)(x2-3)+(y-1)(y2-1)=5，兩方程相減，得(x1-x2)(x-3)+(y1-y2)(y-1)=0①，由Q，A，B三點共線，得(x1-x2)(t-y1)-(y1-y2)(s-x1)=0②，由①，②得(x1-s)(x-3)+(y1-t)(y-1)=0，即(x1-3+3-s)(x-3)+(y1-1+1-t)(y-1)=0，展開得(3-s)(x-3)+(1-t)(y-1)+(x1-3)(x-3)+(y1-1)(y-1)=0，又(x-3)(x1-3)+(y-1)(y1-1)=5，得(3-s)(x-3)+(1-t)(y-1)=0，化簡得(s-3)x+(t-1)y-3s-t+5=0，所以點P在定直線l上，直線l的方程為(s-3)x+(t-1)y-3s-t+5=0.

4.設(shè)而不求，巧求最值問題

圖1

5.設(shè)而不求，巧求范圍問題

圖2

6.設(shè)而不求，巧求軌跡方程

例6 長為2的線段AB在拋物線y=x2上滑動，求AB中點的軌跡方程.

分析:當(dāng)直線與曲線相交時，如果已知弦的長度，所求的是弦中點的軌跡，那么可以對弦的兩端的坐標(biāo)實施“設(shè)而不求”，再結(jié)合中點坐標(biāo)公式，對所得到的式子實施“求和”或“作差”等一系列的變換和運算技巧便可求解.

“設(shè)而不求”的思想在解題中應(yīng)用較為廣泛，在平時的解題中要不斷的探索和研究，要有意識地滲透“設(shè)而不求”的思想，對提升思維的靈活性和創(chuàng)造性大有裨益，對提升運算素養(yǎng)更是不言而喻的.

[1]郭建華.“設(shè)而不求”5例[J]．?dāng)?shù)理天地(高中版)，2016(3)：12-13．

(1)南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度立項課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中生問題提出能力的研究”(編號：L/2016/076)的階段性研究成果.(2)江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度“教師發(fā)展研究專項”課題“高中數(shù)學(xué)教師命題評價能力培訓(xùn)的實踐研究”(編號：J-c/2016/12)的階段性研究成果.耿健現(xiàn)為高三(6)班學(xué)生.