地方院校轉型背景下復變函數研究性教學的探討

姜阿尼　周啟元　鄒慶云

摘要：研究性教學作為一種最具影響力的教學模式，正對轉型背景下的地方院校教學產生著深刻的影響.在復變函數教學過程中，對概念的導入、定理的論證、解題方法的探討等過程實施研究性教學，有助于激發學生自主學習的意識，培養學生的團隊合作與創新能力.

關鍵詞：復變函數；研究性教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0183-02

復變函數是高等學校的一門重要的數學基礎課，是數學分析在復數域上的延伸。也是自然科學與工程技術中常用到的數學工具，它是微分方程、奇異微分方程、計算數學和概率論等數學分支的主要解析方法，又是空氣動力學、流體力學、彈性力學、電磁學和熱力學等學科的幾何定性研究方法。該課程具有理論性強、內容抽象的特點。地方院校的數學專業教學一直受傳統教學思想束縛，在教師主導下重知識的傳授，學生完全被動接受，忽略了學生的主體地位。

當前我國高等教育已進入了一個新的發展階段，大多數地方本科院校適應地方經濟發展方式轉變、產業結構調整與升級的要求，面臨著向應用技術型轉型發展，這必然導致教學方式方法的革新。基于以上認識，在復變函數的課堂教學中，要反思以知識注入為特征的傳統教學模式，重構以學生為主體的主動學習和創造性學習為靈魂的現代教學模式，引導學生去思考，探索與發現，增強學生的智慧，激發學生的創新欲望，培養學生的創新能力。為達到這一目的，筆者認為最有效的教學方式就是采用研究性教學。

一、對研究性教學模式的認識

所謂研究性教學模式，是指教師在教學過程中不把現成結論告訴學生，而是創設一種類似科學研究的情境和途徑，指導學生自主發現問題，探究問題和獲得結論的一種教學模式。主要表現在：（1）強調教學過程，突出知識點產生的起因和研究過程的展現，重在對知識點的研究思想、方法和取得的成就的滲透，激發學生的發散思維。（2）重組教學課堂。打破傳統的教師講學生聽的單向灌輸模式，以研究的方式組織教學活動，學生積極參與研究之中，激發學生自主學習和主動探究的動機，養成對立思考善于交流的良好品質。

二、實施復變函數研究性教學的幾種途徑

1.在概念的導入中實施研究性教學。復函數教材中的概念呈現形式多面向結果的方式，而對理論形成的過程鮮有介紹。教師在課堂上受學時和教學手段的限制，往往只突出結論，而將過程精煉。這種教學方法忽視了知識的探究過程，不利于學生對概念的認識和理解，束縛了學生的批判性思維。

例如，解析函數的孤立奇點的三種類型及其定義，教學時因數學分析中沒講相應的內容，學生無法進行類比來理解此概念，往往采用死記硬背的方法，抓不住概念的要點。對此，在教學中采用研究性教學可解決這一難點，具體做法如下。

（1）提出問題：三個函數

f（z）= ，f（z）=sin ，f（z）= 的孤立奇點都有哪些？它們在z=0的洛朗展示各為什么？

（2）引導探究：由學生分組、討論這三個函數在指定點的極限各為多少？有何特點？

（3）總結反思：通過探究，學生清晰了解析函數的孤立奇點的類型與負冪項相熟的內在聯系，學生很容易歸納出解析函數的孤立奇點的三種類型及其定義，而且為三類有限孤立奇點的特征性學習打下基礎。

由此可見通過教師提問，引導學生積極思考與探索并合作交流，能激發學生的學習積極性，培養團隊合作精神，也是提高學生創新能力的重要途徑。

2.在定理的論證中實施研究性教學。復變函數教材中的定理是學習的重點也是難點。傳統的講授法教學往往是教師一言堂，學生完全處于被動接受地位，嚴重打擊了學生對知識的興趣與學習熱情，而研究性教學能還原定理的發現思路，培養學生發現問題的能力.在定理的論證過程中，通過學生的主動探索，讓學生體驗研究過程，提升學生研究問題的興趣和能力。

例如：在解析函數的洛朗定理的證明教學時，通常直接先給出洛朗定理：f（z）在圓環H：r<|z|

c = = dξ（r<ρ

接著就直接證明，學生對于系數的公式不太容易記住，也不會去聯想與泰勒定理的關系，這樣這個知識就成為一個孤立的知識點，對于學生理解和記憶都不利，采用研究性的教學就容易理解多了。（1）提出問題：什么是雙邊冪級數？洛朗級數的證明是否依賴于泰勒定理的證明？與洛朗級數的關系怎樣？（2）引導探究：學生分三組，分別探究A：雙邊冪級數的定義；B：洛朗定理的證明；C：泰勒定理與洛朗定理的關系。（3）得出結論：泰勒定理是洛朗定理的特殊情形。

3.在方法的探索中實施研究性教學。研究性教學開放式的特點決定了解題方法的多樣性。一題多解、一題多變、一題多思等發散思維的訓練也是研究性教學的主要內容之一。在解題方法的探索中實施研究性教學，組織學生分組討論、研究、激發學生學習興趣，拓寬學生解題思想，幫助學生加深對所學知識的理解，對數學思維的訓練大有裨益。

例如：用多種方法求函數在某一點的留數時，由學生分組探討、匯報，然后教師輔助總結。過程為：（1）提出問題：求f（z）= 在z=0處的留數。

（2）引導探究：首先想到的就是定義，也就是洛朗展開式中 的系數：

解法一：采用洛朗展示由于z=0為孤立奇點，將發

f（z）在|z|<1內展開為f（z）= - （2+5n）z ，故留數為Res[f（z），0]=2.

其次，就是根據點的極點的階數的特點來求留數：

解法二：采用留數的計算方法Res[f（z），0]= zf（z）=2

解法三：利用留數定理的另一計算方法Res[f（z），0]= =2

（3）總結反思。借助一題多解開展研究性教學，一方面能幫助學生溝通復變函數課程各部分知識的內在聯系，另一方面也能培養學生的探究能力，引起學生的多向思維，創設讓學生動腦，動口，動手的空間，從而讓學生在主動探索和探討中達到解決問題的目的。

三、結束語

總之，在高等教育轉型背景下，地方本科院校面臨新的挑戰，也對各門課程的教師提出挑戰，高校的數學課程具有開展研究性教學的基礎和優勢，其實施途徑也必將多元化。筆者在此以復變函數課程的研究性教學為例實屬拋磚引玉，根本目的還在轉變教師觀念。

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