從一道高考真題談函數導數壓軸題的備考

龍正武

(人民教育出版社 100081 )

近些年來的全國高考數學試卷中，函數導數題往往作為最后一道壓軸題出現，起到區分學生層次、選拔人才的作用，因此也深受廣大一線師生的關注.另一方面，函數導數題的考查方式靈活，所蘊含的思維量比較大，因此即使解題工具眾所周知，很多人仍然對函數導數題如何備考有無所適從的感覺.而且，同其他思想性較高的數學內容一樣，對函數導數的內容，高中學生也同樣是“一聽就懂，一做就錯，一講就會，一考就亂”，他們最大的困惑是：好的解題思路是從哪里來的？也就是說，在面對“山重水復疑無路”的困境時，如何找到“柳暗花明又一村”的途徑，是學生們最需解決的問題.

誠然，因為“對函數和導數的考查側重于理解和應用，試題有一定的綜合性，并與數學思想方法緊密結合，對函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想等都進行深入的考查，體現能力立意的命題原則”[1]，因此這類題的備考確實也是不容易的，但也不能說沒有方法可循.下面筆者以廣受討論的2014年全國甲卷第21題為例來說明這一點.該題原題如下：

已知函數f(x)=ex-e-x-2x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0，求b的最大值；

前面兩問無疑是常規的，第(Ⅰ)問考查了平均值不等式，做第(Ⅱ)問的關鍵是使用整體代換和分類討論，應該說只要基礎足夠好，完全是可以做出來的.

然而，如果對整個高中數學的知識都比較熟悉，計算能力又過關的話，試題分析所提到的思路和答案可以按照下述方式快速得到.