數學問題解答

2017年6月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2366如圖，G為△ABC的重心，D,E,F分別為邊BC,CA,AB的中點，延長AD,BE,CF交△ABC的外接圓于點L,M,N，求證:S△LMN≥S△ABC.

(山東省泰安市寧陽縣第一中學 劉才華271400)

證明設BC=a,CA=b,AB=c，

由相交弦定理得LD·AD=BD·CD，

由G為△ABC的重心得

AG=2GD,AD=3GD，

則

由三角形中線公式得

4AD2=2b2+2c2-a2，

4CF2=2a2+2b2-c2，

S△GMN

所以S△LMN

又(2a2+2b2-c2)(2b2+2c2-a2)(2c2+2a2-b2)

=(a2+b2+c2)3，

故S△LMN≥S△ABC.

2367設a,b,c為正實數，且abc=1，求證：

(安徽省岳西中學 儲百六 246600)

證明先令a=x3,b=y3,c=z3，則原不等式轉化為：x,y,z為正實數，且xyz=1，求證：

由(y4-z4)(y-z)≥0，

得y5+z5≥y4z+yz4=yz(y3+z3),

同理

所以

最后一步是由于

相加整理可得x8+y8+z8≥x5+y5+z5.

2368如圖，在△ABC中，點E、F、D分別在AC、AB、BC上且DE∥AB、DF∥AC，EN⊥AB、FL⊥AC，N、L分別為垂足，EN與FL交于H，

求證：AN2+AL2+BC2=BN2+CL2.

(江西師范高等專科學校 王建榮 335000，溫州私立第一實驗學校 劉沙西 325000)

證明顯然E、D、F、H四點共圓，并設此圓與△ABC三邊AB、BC、AC的交點分別為R、T、S，連接FS、SD、ER、ST、RT，如圖，

因為∠ARE=∠FDE=∠EAR?AN=NR，

同理AL=LS，

所以

AN2+AL2+BC2=BN2+CL2

?BC2=AB(BN-AN)+AC(CL-AL)

?BC2=AB·BR+AC·CS，

又因為EF=SD，

所以∠STD=∠EDF=∠BAS，

所以△CST∽△CBA.

同理△RBT∽△CBA，

因此AB·BR=BC·BT；

AC·CS=BC·CT

?BC2=AB·BR+AC·CS，

故原式成立.

2369設點I,H分別為銳角△ABC的內心和垂心,則有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

證明文中∑,∏分別表示三元循環和、循環積.

設R,r分別為銳角△ABC的外接圓半徑及內切圓半徑,

由兩個熟知的三角公式

可推得

又在銳角三角形△ABC中,

設BH交AC于點E,則由相似比,易得

那么

那么由三元均值定理,連續放縮可得

以上證明過程中用到了以下兩個熟知的公式

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1.

2370如圖所示，從海岸上的P地瞭望某海島周邊的4座海洋科研觀察站A，B，C，D，發現P，A，B與P，C，D分別處在同一視線上，又測得P地到海島中心O地的距離為d千米，各觀察站到O地的距離均為r千米. 從P地到O地已建成直線通達的物流干線，現擬在海島內的既有干線上設立中轉站M，新建4條由M分別直線通達各觀察站的物流支線，試確定中轉站的選址，使得新建支線……