等差數列和等比數列的另類刻畫

李啟超

(北京市十一學校數學教研組 100039)

1 試題的回顧與比較

2017年1月中旬舉行的清華大學中學生標準學術能力測試數學部分(共40道不定向選擇題)包含如下一道題目：

(2017年-清華能力測試-33題)已知a1,a2,…,an(n≥3)不是等差數列，且滿足

①0≤a1

A.3 B. 4 C. 5 D. 6

事實上，本題有2009年高考理科北京卷壓軸題和2014年北京市順義區的一道高考模擬題的明顯背景.

(Ⅰ) 分別判斷數集{1,3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質P，并說明理由；

(Ⅲ) 證明：當n=5時，a1,a2,a3,a4,a5成等比數列.

(2014年-順義二模-20題) 已知集合A={a1,a2,…,an}(1≤a1

(Ⅰ) 分別判斷集合M={0,2,4}與N={1,2,3}是否具有性質Q；

(Ⅲ)當n=3,4或5時集合A中的數列{an}是否一定成等差數列? 說明理由．

試題的賞析與探究2009年北京高考數學壓軸題第(Ⅲ)問要求考生證明滿足性質P的有限數列{a1,a2,a3,a4,a5}是等比數列，題干簡潔，結論優雅，令人耳目一新. 作為這道題的變式題，2014年順義區二模壓軸題將等比數列的性質P巧妙地遷移到等差數列情形，結論也與等比數列情形類似.本文第二部分，我們將采用“有序化”和“一一對應”的策略，證明這兩道題的推廣形式，即：滿足性質P的數列a1,a2,…,an(n≥3)，在n≠4時一定是等比數列；滿足性質Q的數列a1,a2,…,an(n≥3)，在n≠4時一定是等差數列. 據此結論我們不難解答上面的三道試題.

2 等差數列和等比數列的另類刻畫

本節我們證明上述問題的兩個推廣形式，相應的結論可以看作一類有限等差、等比數列的另類刻畫.

命題1已知數集A={a1,a2,…，an}

anan>anan-1>…>ana2>an,

可知B∩A=?，根據性質P，有

我們得到集合A中元素的一個重排，如下方數表所示：

a1,a2,a3,…,an-3,an-2,an-1,ananan,anan-1,anan-2,…,ana4,ana3,ana2,ana1,

ai·aj+1=an, 1≤i≤j≤n-1,i+j=n,

(1)

特殊地，a2·an-1=an,a3·an-2=an.

當n>4時，我們考慮集合C={an-1an-1,an-1an-2,…,an-1a3}，這時集合C中有n-3個元素. 因為an-1an-1>an-1an-2>…>an-1a3>an-1a2=an,由性質P可知

={a1,a2,a3,…,an-3}，

于是我們得到如下數表(這……