中學數學開放題教學探析

◎羅遠峰

中學數學開放題教學探析

開放題的產生

◎羅遠峰

1971年，在日本以島田茂為首的一些學者提出了數學開放題的概念，開始注意到開放式數學教學價值，它能豐富并改善教學。1980年美國數學教師理事會提出“問題解決是數學教學的核心”，并借助于問題解決這一教學模式成功介入到數學開放題中來。開放題做為問題解決的產物，在美國中小學已普遍出現并使用。在國內，90年代，開放題在數學教材中出現并進行試驗教學。1998年，數學開放式題首次出現在全國高考試卷中[殷容儀. 高中數學開放題教學過程中若干問題的研究[C],華東師范大學，2004(10).56-60]。一般地說來，問題性習題和探索性習題可統稱為開放型題。

怎樣進行開放題教學

一位好的教師不是在教數學，而是能激發學生自己去學數學.一種好的教學也并非是把數學內容解釋清楚，闡述明白就足夠了。教師必須要讓學生自己研究數學，或者和學生們一起做數學；教師應積極為學生創設問題解決的情景，讓學生通過觀察、試驗、歸納、作出猜想、發現模式、得出結論并證明、推廣等等。只有當學生通過自己的思考建構起自己的數學理解力時，才能真正學好數學，從而培養學生的創新精神和實踐能力。

在七年級進行開放題教學時，可以先讓每個學生都盡早地接觸一些很簡單的開放題，以讓他們有一個粗淺的感性的認識.如浙教版七年級教材上冊中的一些題目：提供一個能用算式（1-43%-37%）×2500解決的實際問題情境，算出結果，并說明計算結果的實際意義。在第五章一元一次方程中有：給出兩個不同的方程，使它們的解都是；編一個實際應用題，要求所列的方程為15x+45y=180等。而后的學習對所給的開放題稍加難度和設有梯度，可增加一些開放題的類型。如用24根同樣的火柴棒搭成5種不同的三角形，各邊長分別是多少？通過小組合作交流寫出所有的情況（共有12種），并將這些三角形進行分類（可按最大邊、最大角或三邊的關系等多種角度來分）。告訴學生這是一道結論開放題.又如已知：如圖Rt△ABC中，∠C=90°，沿B點的一條直線BE折疊這個三角形，使C點與AB邊上的一點D重合， ，求證： BD=AD（請在橫線上添加一個條件，方法盡可能的多）。[戴再平. 初中數學開放題集[M]，上海教育出版社，上海, 2000年5月第一版,82-85]

告訴學生本例是一個條件開放題，可填的條件有13種以上……通過一道道一類類開放題的研究，可以有效地培養學生的自主探究能力、分析和解決問題的能力。

在浙教版第六章的“因式分解”一章中，最主要的是學習因式分解的兩種常用方法，即提取公因式法和運用公式法(平方差公式，完全平方公式)；在上完這章后，便可設計下面這道開放題：先在下面橫線上分別填上適當的數或式，然后把所得的多項式進行因式分解(要求所填類型盡可能豐富，填后所用的方法也盡可能多樣)：

_______a +_______b =_______

本問題中的橫線上可填的數或式顯然有無數多種，如從提取公因式法考慮：（1）只填數，如2和2，2和4等；（2）只填字母，如m和m， m2和m3等；（3）數與字母結合，如2m和4m，－3x2和6xy2等；（4）填多項式，如－5（x+y）2和15（x+y）3等.從運用公式法考慮：（1）填a和－b或9a和－4b等運用平方差公式分解；（2）填a和±（2a+b）等運用完全平方公式分解。

到了高中，學生對開放題的基本知識和各種類型已經比較了解，教師要在此基礎上對各種類型的開放題解答方法進行歸類總結，以達到舉一反三、觸類旁通之效，并對學生進行開放題的題組訓練。

例如： (《高中平面解析幾何》習題四第11題)求經過兩條曲線x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交點的直線方程。

解法開放：通常是先求交點坐標，再由交點坐標求直線方程。如果對由目標分解出的兩個要素進行適當解釋：過交點——由兩曲線方程組成的方程組的解是所求方程的解，直線——所求的方程為一元二次方程，那么，只要由第一條曲線方程乘以3與第二條曲線方程相減便可得到所求的直線方程7x-4y=0；如果從“直線”入手，再考慮“過交點”，則可引入直線方程，運用待定系數法求解。

在教學過程中，讓學生自己去慢慢感受開放題的特點，如有條件開放型、結論開放型、綜合開放型、動手操作類開放探究性試題等等，逐步體驗做開放題的樂趣，在多次體驗的基礎上也訓練了學生思維的靈活性、深刻性、和發散性。

開放題具體教學操作，可據老師和學生的不同情況，選用下列形式中的一種或幾種：

形式一：教師給出問題后，由每個學生獨立思考各種方法，體現動手實踐，自主探索的學習方式。

形式二：教師給出問題后，由學生邊思考邊發言，使課堂上多種教學活動如觀察，猜測，驗證，推理，交流等得到全方位的訓練. 在過程中，當某個學生回答出某種方法后，教師可讓他自己講出其中的道理，也可由其他同學簡要地說出該畫法的道理。

形式三：教師給出問題后，可對全班同學進行分組，采用“合作學習”的模式。先在小組內進行合作，探討，交流，然后在班里進行以小組為單位的交流或開展組與組之間的比賽。

形式四：在前面某些活動的基礎上，由每班的數學科代表組織各小組長整理出所有的方法，并可撰寫成小論文，進行班與班之間的評比，或向校報、校刊或其他地方投稿。

數學開放題的基本類型

1.題型結構開放型，如：條件開放型、結論開放型、綜合開放型等。

2.規律發現類開放探究性試題

3.學習遷移類開放探究型

4.動手操作類開放探究型

5.“問題——任務”類開放探究型

6.圖形構造類開放探究型

7.新定義類開放探究型

8.課題學習類開放探究型等等。

開放題教學還應關注以下幾點

讓學生經歷數學知識的形成過程。數學教學應把數學學習作為一種數學思維活動來進行，要讓學生親身經歷數學問題的提出過程、解決方法的探索過程、問題結論的深化過程、方法能力的遷移過程，要把培養學生的創新意識作為基本目標，鼓勵學生獨立思考，逐步形成和發展學生的數學探究能力和創新思維能力。

重視問題變式訓練。在問題變式教學中，教師或通過對命題結論的改變，引出新命題；或通過對命題條件的改變，引出新命題；或通過特殊到一般聯想，引出新命題；有時還可以引導學生思考以下幾個方面的問題：這一問題有哪些特例，還能否推廣，它的反面情形如何，逆向思考結果怎樣，與其相關問題結合起來情形如何。這樣的變式訓練不但有利于學生更好地數學知識的本質內涵，而且也是培養學生思維能力的有效途徑，從而可以有效地提高解決開放探究性問題的能力。

重視數學活動和課題學習的教學。數學活動和課題學習是新課程、新教材的特點和亮點之一，加強數學活動和課題學習的教學是提高學生解決開放探究性問題能力的一條行之有效的途徑，這些內容的教學也為教師有效地滲透探究方法提供了一個很好的平臺，使學生學會有效地觀察、歸納、類比、猜想等。

重視數學思想方法的有效落實。數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它源于數學本身的發展歷程，發展于數學應用實踐中，它是數學文化的核心，是溝通數學知識與數學能力的橋梁，普遍指導著數學問題的解決。因此教師在平時教學及復習中，應先對教材深鉆細研，深入挖掘知識體系中所蘊含的思想方法，編選習題時應返璞歸真，突現思想方法立意。

數學開放題的教學，與傳統的教學比較，是一個嶄新的教學模式，這個教學模式能夠充分發揮學生的研究性學習思維，拓寬學生的思路，提高學生分析問題和解決問題的能力，在此過程中，老師要把握好教學尺度，恰到好處地對學生進行提示和指導。

遵義師范學院 數學學院）