Lyapunov第一方法在非線性控制中的應(yīng)用解析

摘要：Lyapunov方法是進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計(jì)的重要工具。一般教材和參考資料上主要講述的是如何進(jìn)行穩(wěn)定性分析，而本文主要對(duì)Lyapunov第一方法在非線性控制設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用進(jìn)行解析說(shuō)明。本文首先介紹了Lyapunov第一方法的基本內(nèi)容，以及在進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)的注意事項(xiàng)。然后針對(duì)具體例子演示了如何應(yīng)用Lyapunov第一方法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)的過(guò)程，并對(duì)設(shè)計(jì)的控制律進(jìn)行了系統(tǒng)仿真驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：Lyapunov第一方法；非線性系統(tǒng)；非線性控制；線性系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）50-0195-03

一、引言

1892年俄國(guó)學(xué)者Lyapunov發(fā)表了論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題》，給出了分析常微分方程組穩(wěn)定性的兩個(gè)方法，分別稱為L(zhǎng)yapunov第一方法和Lyapunov第二方法。其中Lyapunov第一方法針對(duì)非線性系統(tǒng)的一次近似線性模型，分析系統(tǒng)相應(yīng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。雖然應(yīng)用Lyapunov第一方法有一定的局限性，比如要求非線性系統(tǒng)具有可微性，以及得出結(jié)論是小范圍的穩(wěn)定性質(zhì)。不過(guò)，由于當(dāng)前關(guān)于非線性系統(tǒng)并沒(méi)有統(tǒng)一有效的分析控制工具，而Lyapunov第一方法易于分析理解，并且能夠結(jié)合相應(yīng)成熟的線性系統(tǒng)理論，故其已成為研究非線性系統(tǒng)控制的理論方法之一[1，2]。在自動(dòng)控制原理II或現(xiàn)代控制理論課堂中，Lyapunov第一方法和第二方法是組成系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的一個(gè)重要部分[3，4]。不過(guò)一般教材和參考書(shū)中關(guān)于這部分內(nèi)容，只是介紹和示例了其在穩(wěn)定性分析中的作用，很少介紹其在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用。所以本文在這里準(zhǔn)備對(duì)Lyapunov第一方法在非線性系統(tǒng)控制中的應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行解析說(shuō)明，詳細(xì)分析了其中應(yīng)該注意的事項(xiàng)，并通過(guò)具體例子進(jìn)行演示，相關(guān)內(nèi)容可作為學(xué)習(xí)本門(mén)課程學(xué)生的一次課外討論作業(yè)。

二、Lyapunov第一方法的主要內(nèi)容

1.當(dāng)A的特征值都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)（2）是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe也是漸近穩(wěn)定的。

2.當(dāng)A的特征值至少有一個(gè)具有正實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)（2）是不穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe也是不穩(wěn)定的。

3.當(dāng)A的特征值都不具有正實(shí)部，但至少有一個(gè)特征值的實(shí)部為零，這時(shí)系統(tǒng)（2）是穩(wěn)定的，系統(tǒng)（1）的平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性需要通過(guò)其他方法判定。

注記1：上面提到的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性均指Lyapunov意義下的穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性。其中Lyapunov意義下的穩(wěn)定性表示的是一種不發(fā)散的性質(zhì)（類(lèi)似有界性），Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性表示漸近收斂性。這些在一般教科書(shū)里都進(jìn)行了詳細(xì)的定義說(shuō)明。

注記2：如上所示Lyapunov第一方法包含三個(gè)內(nèi)容，這都可以作為進(jìn)行非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。不過(guò)在進(jìn)行非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性控制研究時(shí)，一般我們是先設(shè)定控制目標(biāo)，即設(shè)定反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于某個(gè)平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，所以實(shí)際上參考的內(nèi)容只有第一部分。

三、在非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性控制中應(yīng)用的注意事項(xiàng)

1.平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。Lyapunov第一方法中的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性分別表示的是平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，所以必須保證設(shè)定值是閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。即

f（x*，g（x*））=0。

2.增量的線性系統(tǒng)方程。從公式（1）（2）的推導(dǎo)過(guò)程可知，進(jìn)行局部線性化以后得到的線性系統(tǒng)變量y=x-x，即為原狀態(tài)變量的增量，所以在進(jìn)行控制設(shè)計(jì)的過(guò)程中通過(guò)平衡點(diǎn)的平移，變?yōu)樵隽康木€性系統(tǒng)。

3.變量還原。對(duì)增量的線性系統(tǒng)進(jìn)行反饋控制設(shè)計(jì)之后，進(jìn)行控制變量和狀態(tài)變量的還原，代入原控制系統(tǒng)中，再進(jìn)行系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證。

四、實(shí)例分析

五﹑仿真

參考文獻(xiàn)：

[1]魏萍，馮愛(ài)祥.研究生課程“非線性系統(tǒng)”的教學(xué)思考[J]. 科教文匯，2015，（316）：58-59.

[2]賀俊吉，趙明，許曉彥，解翔.非線性系統(tǒng)控制系統(tǒng)教學(xué)中存在的問(wèn)題和改進(jìn)方法探討[J].教育教學(xué)論壇，2017，（13）：183-184.

[3]吳麒.自動(dòng)控制原理（下冊(cè)）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[4]胡壽松.自動(dòng)控制原理[M].第五版.北京：清華大學(xué)出版社，2011.

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