幾類偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的研究

李苓苓，陳 瓊

（南昌工學(xué)院，江西 南昌 330108）

幾類偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的研究

李苓苓，陳 瓊

（南昌工學(xué)院，江西 南昌 330108）

文章對(duì)偏微分方程以及其解法的概述做出了簡(jiǎn)要的介紹，在此基礎(chǔ)上，文章對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分進(jìn)行了詳細(xì)的描述。除此之外，文章對(duì)Fisher方程、Burgers方程和Burgers-Fisher、粘性耦合Burgers方程這幾類偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。

偏微分方程；非標(biāo)準(zhǔn)有限差分；格式

1 偏微分方程的概述

偏微分方程是解決現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題的一個(gè)有效方法，在數(shù)學(xué)、自然、物理、天文中國(guó)均具有重要的應(yīng)用，因此對(duì)其的研究也就格外具有現(xiàn)實(shí)意義。常微分方程和偏微分方程的區(qū)別為：常微分方程中問題的變量只有一個(gè)，偏微分方程中問題的變量為兩個(gè)或者多個(gè)。而在微分方程中，二階微分方程的應(yīng)用和研究最為廣泛。

2 非標(biāo)準(zhǔn)有限差分

在非標(biāo)準(zhǔn)有限差分解決問題的方法中，精確差分方法是Potts在1982年提出的。除此之外，θ-方法也是解決問題的好辦法，此類方法在提出之后被一些研究者加以研究方法，在解決問題上具有更大的優(yōu)勢(shì)，這就比如說由Berzins改造的有限差分方法、Lubuma改造的有限差分方法。

3 幾類方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式

（1）Fisher方程。Fisher方程格式如下：ut=uxx+u(1-u)。根據(jù)方程的行波解對(duì)方程進(jìn)行處理時(shí)，可以得到如下的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式：

在這個(gè)由Albowitz和Zeppetella提出的等式中：b表示常數(shù)，0≤u（x,t）≤1。而Fisher方程方程的精確有限差分格式格式在學(xué)術(shù)上還是比較模糊的，以下是對(duì)此的詳細(xì)介紹。

首先，利用Mickens給Fisher方程進(jìn)行離散處理，則式（1）可以變成如下式（2）。

而式（2）需所需要滿足的條件為：φ（Δt，λ）=Δt+O（Δt2）。而這個(gè)方法應(yīng)用到離散二階倒數(shù)也是可行的。而利用Mickens方法給方程進(jìn)行處理時(shí)，則可以得到這樣的公式：

（2）Burgers方程和Burgers-Fisher方程。Burgers方程是一類在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛的方程，它得到了很多學(xué)者的研究。其基本方程格式為：ut=uxx-auuxx。而Burgers-Fisher方程則是對(duì)Burgers方程的轉(zhuǎn)換變化，其基本格式為：ut+uxx-auuxx=u(1-u)。以下對(duì)構(gòu)造Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精確有限差分格式做出簡(jiǎn)要的介紹。

在構(gòu)造Burgers方程和Burgers-Fisher方程的精確有限差分格式之前，對(duì)Mickens給出的文獻(xiàn)以及Roeger給出的文獻(xiàn)中的理論加以應(yīng)用，這對(duì)進(jìn)行方程的轉(zhuǎn)換具有十分重要的意義。

而在求粘性耦合Burgers方程中的非標(biāo)準(zhǔn)有限差分的格式的過程中，對(duì)上訴的方程進(jìn)行一定的指數(shù)變換。在此之后，需要應(yīng)用到精確有限差分的格式對(duì)得到的公式進(jìn)行一定的變換。

4 注意事項(xiàng)

在進(jìn)行幾類偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格中的求解時(shí)，我們需要注重這樣幾個(gè)方面：①求解過程中對(duì)一些軟件的使用。由于求解的過程和求解的步驟是十分復(fù)雜的，我們需要對(duì)一些軟件加以使用來簡(jiǎn)化我們的求解過程。在選擇軟件時(shí)，我們除了可以使用一些簡(jiǎn)化計(jì)算步驟的軟件，我們也可以使用一些模擬軟件對(duì)結(jié)果進(jìn)行模擬，這樣對(duì)結(jié)果變得更加直觀。②求解后進(jìn)行驗(yàn)證。在得到偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式后，我們需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，這樣才能保證結(jié)果的準(zhǔn)確性。而進(jìn)行結(jié)果的驗(yàn)證時(shí)，我們可以從這樣兩個(gè)方面入手：首先，驗(yàn)證計(jì)算過程以及使用的理論。其次，將計(jì)算的結(jié)果反向推導(dǎo)來驗(yàn)證計(jì)算是否正確。除此之外，我們也可以通過不同的方法和理論進(jìn)行多次計(jì)算，這樣可以保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。③在進(jìn)行幾類偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式的計(jì)算中，注重對(duì)一些方法和理論加以利用，這樣可以大大地簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，這就比如說對(duì)Mickens給出的文獻(xiàn)以及Roeger給出的文獻(xiàn)中的理論加以利用。

5 結(jié)語

偏微分方程對(duì)解決實(shí)際問題具有十分重要的作用，因此研究幾種偏微分方程非標(biāo)準(zhǔn)有限差分格式也具有重要的意義。而求解Fisher方程、Burgers方程和Burgers-Fisher、粘性耦合Burgers方程的過程中，注重對(duì)一些諸如Mickens給出的文獻(xiàn)以及Roeger給出的文獻(xiàn)中的理論加以利用。

李苓苓，碩士研究生，講師，主要研究方向：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)。