大數定律和中心極限定理的思考與應用

陳常琦

摘要：概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科，而統計規律性是通過重復觀測來體現，研究極限是對大量的重復觀測作數學處理的常用方法。本文將對大數定律與中心極限定理在獨立同分布和不同分布兩種情況下的結論作了比較系統的闡述，揭示了隨機現象最根本的性質——平均結果的穩定性。概率論與數理統計是研究隨機現象的統計規律的一門學科，只有在相同條件下進行大量重復試驗或觀察才能呈現出隨機現象的統計規律性。

關鍵詞：大數定律；中心極限定理；概率論

概率論中一個非常重要的課題就是大數定律，這還是概率論與數理統計之間一個承前啟后的紐帶。大數定律闡明了隨機現象平均結果具有穩定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算數平均值法則”的基本理論。比如說，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下后哪一面朝上本來是偶然的，但當我們向上拋硬幣的次數足夠多時，達到上萬次甚至幾十萬次之后，我們會發現，硬幣向上的次數約占總次數的二分之一，偶然中包含著必然。

一、 大數定律和中心極限定理的概念與關系

（一） 大數定律

大數定律就是在大量的隨機試驗中，由于各次的隨機性（偶然性）相互抵消又相互補償，因而其平均結果趨于穩定，而闡明大量隨機現象平均結果穩定性的定理。

利用大數定律使用極限方法研究大量隨機現象的統計規律性。人們在長期的實踐中發現，頻率以及大量測量值的算術平均值具有穩定性，而大數定律要解決的問題也就是這種穩定性問題如何從理論上給出解釋？

不難看出大數定律在理論和實際中都有廣泛的應用。

（二） 中心極限定理

自從高斯指出測量誤差服從正態分布后，人們發現，正態分布在自然界中極為常見。例如：炮彈的彈落點、人的身高、體重等都服從正態分布。中心極限定理的客觀背景：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成的，而其中每一個因素在總的影響中所起的作用微小，這種隨機變量往往近似地服從正態分布。

中心極限定理回答了大量獨立隨機變量和的近似分布問題，其表明了當一個（主導因素除外的）量受許多隨機因素的共同影響而隨機取值，則它的分布就近似服從正態分布。

（三） 大數定律與中心極限定理的關系

大數定律和中心極限定理統稱為極限定理，兩者均揭示的是大量隨機現象。

關于獨立隨機變量序列的平均結果的極限，大數定律給出了取平均值的理論依據；中心極限定理則導出了大量獨立隨機變量之和的極限分布為正態分布。

二、 大數定律與中心極限定理在實際生活中的應用

（一） 在數學分析中的應用

定積分作為新教材中的一大亮點，有著明顯的幾何意義所在。定積分計算問題一般都可以借助原函數或者利用其幾何意義來求解。但是，有些復雜的定積分其幾何意義不明顯且被積函數的原函數不易求得。那么這時候就可以用到大數定律和中心極限定理了。應用恰當的話這些復雜的定積分就不會再是那么困難了。

在求解無窮級數上大數定律也有很大的作用，它可以提供另一種有趣而且也有用的辦法。

伯努利是著名的數學家之一，但是他也曾經被一個在現在已經解決的問題難住了：求自然數倒數平方的級數和。于是伯努利公開征求這個問題的求解方法。

三十年過后，這個問題才得到解決。先是歐拉利用猜度術找出了結果，他是第一個找出答案的，但是自己卻不能證明，只能用數據驗證。當然，現在有了很多種證明的方法，其中一個就是用大數定律的原理來完成的。

（二） 在近代計算中的應用

中心極限定理反映的是相互獨立的隨機變量序列的和的極限分布是正態分布的問題。在近代計算中有著舉足輕重的地位。

（三） 在保險業中的應用

中心極限定理可以估算和預測一個保險公司的虧盈和是否破產。這是一般計算類的定理所不能做到的。大數定律是建立近代保險業的基礎。解釋了承保的危險單位越多，損失概率的偏差越小。同樣的，承保的危險單位越少，那么它的損失概率的偏差越大。因此，運用大數法則，不但可以估算一個公司的財務，還可以比較精確地預測危險以及合理地擬定保險費率。不難發現在保險業中中心極限定理也充當著重要的角色。

（四） 在企業管理方面的應用

企業管理是一個很麻煩的事。但是大數定律與中心極限定理，企業管理中也有著廣泛的應用，它涉及商品訂購、電力供應等方面，又為人們解決了一個很頭疼的事。

（五） 在數據處理中應用

生活中我們不難發現，應用一些定理可使計算變得簡單，減少了計算量。在一些概率數據處理中也常常采用大數定律和中心極限定理。所以說生活中其實我們時不時的在應用這些很能省掉麻煩的程序的定理。大數定律和中心極限定理顯然就是一種。

三、 結論

從兩者在現實生活中的各方面的應用，我們可以看到大數定律與中心極限定理為促進人類社會和諧又好又快發展有著不可估量的價值。

大數定律與中心極限定理的概論，在如今這個概率論迅速發展的社會下，由它們思想所延伸出的大數定律，無論是我們日常生活中還是工作學習中都多多少少的會應用到。不過什么事物都有兩面性，也就是說如果不能很好地利用這些定理，那么就算再簡單的計算你也有可能反反復復地計算，而且還可能于事無補，所以要合理恰當地應用。只有這樣才能更好地發揮出這些高級定理的偉大作用，而且它們的影響應該還遠不止于這些。隨著社會計算量的需求，它們越來越多的作用都會被挖掘出來并加以應用。

參考文獻：

[1]于進偉，趙舜仁.大數定律與中心極限定理之關系[J].高等數學研究，2001，4（1）：15-17.

[2]拉窮.論獨立隨機序列的大數定律與中心極限定理及其應用[D].西南交通大學，2007.