傅里葉級數的收斂性和應用

范偉熠

摘要：本文分析了函數方程f（x）展開成傅里葉級數的收斂性問題，給出了傅里葉級數的相關證明，并且在本文中也揀選了它的起源，有助于讀者來了解傅里葉級數。傅里葉級數用簡單的三角函數的線性組合來代替那些看起來很復雜的函數，通過研究那些線性組合后的三角函數，來達到理解那些復雜函數的關系的目的，本文中給出了一些例子來加以說明。

關鍵詞：傅里葉級數；收斂性；應用；數學

一、 引言

在我們無法進行理論證明的時候，采用直觀推斷的研究方法其實在早期的科學研究中，已經被廣泛地應用，因此也帶來了很多的重要發現，傅里葉級數就是其中之一。他的研究促進了函數概念的發展，他解決了關于弦振方程問題的解的爭論，同時還拓展了函數概念的發展，讓人們覺得函數必須要有一個表達式來進行說明，人們可以從泰勒公式之中解放出來，而且傅里葉的結論展示了強大的生命力，比以前人們使用三角函數正交要簡單明了一些，這是很偉大的舉動。傅里葉將其發展成了內容豐富的理論，從而開創了數學物理學的一個時代。

二、 傅里葉級數的收斂性

同理，當f（x）在x的右鄰域也為單調函數也是成立的。研究工作者們得出結論，連續函數的傅里葉級數在某些點是發散的，而且級數在算術平均和的意義下總是收斂該函數，同時有函數在任意給定的零測集上，存在連續的周期函數在該點都是發散的，所以傅里葉級數的收斂性問題就清楚了。

三、 傅里葉級數的應用

（一） 利用傅里葉級數斂散性證明等式

傅里葉級數的等式方面的證明是傅里葉級數收斂性的主要應用之一，也是高等數學的證明等式的基礎，證明兩個等式相等方法有很多，利用傅里葉級數只是其中的一種而已，由級數的收斂性就可以證明。通常的做法就是將其中的一個等式變成傅里葉級數，由級數的收斂性就可以比較清晰，下面舉例證明。

四、 結語

傅里葉級數是數學領域中一個十分重要的學科，是處理很多科學和工程問題必不可少的工具，本文通過這些內容希望給讀者這方面的啟示。

在實際中如果遇到十分復雜的事物，傅里葉級數就是這樣的數學思考方式的體現，它的主要體現是把復雜函數化為簡單的三角函數的線性組合，通過研究三角函數的線性組合來達到研究復雜函數的目的。本文簡單地介紹了傅里葉級數的收斂性和一些方面的應用，即在純數學應用中來解決問題。

參考文獻：

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