應用技術型大學函數極限教法思考

張宏

摘要：函數極限是高等數學的理論基礎，也是高等數學的難點之一，如何讓應用技術型大學學生掌握函數極限的求解，并用函數極限的思想理解導數和導數的部分應用，都是值得考慮的問題，本文試圖通過極限計算的前后呼應讓同學們加深對函數極限的理解。

關鍵詞：極限；高等數學；導數

一、 引言

理工科的學生進入大學后的數學學習以函數極限為基礎，函數極限是以變量變化趨勢作為研究對象。學生的數學學習正是由此開始，實現從中學常量數學的學習到大學變量數學的學習轉變。由于數學思想的轉變，所以函數極限成為了高等數學學習的難點。

為了讓學生可以更好的理解函數極限的概念、掌握函數極限的求法，下面從例子limx→0（ex-1）/x理解極限定義，學習極限計算方法，極限與導數的關系等。

二、 定義的理解

函數的極限與自變量變化過程有關，與函數在定點是否有定義無關。

例如：極限limx→0（ex-1）/x，該函數在點x=0無定義，但卻有變化趨勢，為以通過函數圖形輔助同學們理解。

三、 極限求法

函數極限的計算方法有定義、夾逼原理、四則運算、應用重要極限、等價無窮小替代、連續函數的性質、導數的定義、洛必達法則、泰勒公式、定積分定義等多種方法。本文列舉部分重要的求極限limx→0（ex-1）/x。

（一） 應用重要極限、連續函數的性質方法

令ex-1=t，則x=ln（1+t），當x→0時，t→0

因此limx→0（ex-1）/x=limt→0（eln（1+t）-1）/ln（1+t）=limt→0t/ln（1+t）

又∵limt→0ln（1+t）/t=limt→0ln（1+t）1/t=lnlimt→0（1+t）1/t=lne=1

∴limx→0（ex-1）/x=1。

（二） 應用等價無窮小的方法

由于ex-1～x，所以limx→0（ex-1）/x=limx→0x/x=1。

（三） 應用導數定義方法。

應用導數定義求解極限的過程中，借助圖形演示，不但有利于學生理解導數的幾何意義，而且有利于學生進一步鞏固函數極限的掌握，達到“溫故而知新、知新而固舊”的教學目的，同時也使得同學們理解高等數學的各部分是有機整體。

令f（x）=ex，則f′（0）=limx→0（ex-1）/x=1。

（四） 應用洛必達法則方法

limx→0（ex-1）/x=limx→0ex/1=1。

（五） 應用泰勒公式方法

泰勒公式是高等數學的另一個難點，在這一部分學習時，通過圖形演示可以讓同學們直觀的看到函數的逼近，加深對泰勒公式的理解。

由于ex=1+x+x2/2！+…+xn/n！+o（xn），見圖3。特別的，當n=1時，ex=1+x+o（x）

所以limx→0（ex-1）/x=limx→0（1+x+o（x）-1）/x=limx→0[1+o（x）/x]=1

四、 致謝

感謝天津中德應用技術大學教研項目：應用型本科院校線性代數課程建設探索（zdkt2015-019）的支持。

參考文獻：

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