高等數學思想方法指導下的中學數學教學研究

李揚

摘要：數學思想方法是對數學知識的本質認識，在教學中滲透數學思想方法對人們思維的條理性、連貫性的培養都起著非常重要的作用。本論文站在高等數學的角度，運用高等數學的知識、思想和方法，居高臨下地分析和處理中學數學中的問題。

關鍵詞：數學思想方法；高等數學；中學數學

一、 引言

隨著新課程改革的不斷實施，中學數學與高等數學教學的銜接問題已逐漸被人們關注。尤其是從高中剛到大學學習的階段，傳統中學的數學思維模式已經不再適合大學數學的學習，我們會感覺到中學和高等數學的差距比較大，所以研究高等數學思想方法對中學數學教學的指導作用就顯得尤為重要。

二、 高等數學在中學數學中的滲透

高等數學的分支比較多，任何一個分支的方法和知識給中學數學起到的指導作用也都是存在差別的，熟練地掌握這些內容，對教師居高臨下地處理中學數學教學至關重要。

第一，數學分析的辯證觀點對中學數學中一些問題的理解有指導作用，數學分析在中學數學方法的基礎上又引進了一種新的思想方法——極限法。用極限思想可以實現常量與變量，直與曲，均勻與非均勻的相互轉換，所以數學分析對中學數學中的相關問題的理解和解決有一定的導向作用。比如：用微分方法求函數y=x3+px+q（p、q∈R）極值的問題，在求解過程探索出這一類問題的一個初等解法。而辯證觀點對求解過程有一定的指導意義，用這樣的方法，會開闊對中學數學問題求解的思路，使解法更加簡便有效，避免了面對問題束手無策，盲目亂試的情況。

第二，解析幾何為解決中學數學有關幾何命題提供一種新的模式。高等幾何在安排教材內容方面和中學幾何有著明顯的區別，其先將定義和定理說出來，然后再進行直觀的證明和解釋，中學幾何是以實例為基礎，給出相關的定理和概念，高等幾何重視抽象思維的訓練，而中學幾何更加重視形象思維，二者雖然出發點有一定的區別，但是得到的結論是一樣的。全面了解高等幾何和中學幾何之間的區別，認識其本質、把握其整體、深入局部，對辯證關系有著深刻的認識。從內容方面看，高等幾何要比中學幾何更加的豐富，在問題分析以及解決方面觀點也更加的新穎，方法也更獨特。如對二次曲線的定義，既有幾何定義，又有代數定義。高等幾何在進行問題處理的時候方法比較靈活和獨特，能夠給中學幾何問題解決提供新的模式和知識背景。

第三，在中學教材中已經納入了一些高等代數基礎知識。特別是最近幾年，代數無論是廣度、深度還是應用方面發展都非常大。《近世代數》中的歐氏環為中學數學“因式分解”提供了理論基礎。若不用高等代數作指導，因式分解中的一些問題就會似是而非，難以理解。因此用高等代數相關內容指導中學數學教學，可幫助學生理解問題的本質。

用高等數學思想解決中學數學問題的例子是比較多的，這便要求教師在教學的時候，需要進行高等數學思想方法的滲透，這樣其才能夠成為學生數學問題解決的重要工具，使學生在面對一些學習以及生活上的難題時不再望而生畏，而是靈活地進行思維的轉換，找到解決問題的方法。

三、 高等數學思想方法在中學數學教學中的應用

高等數學與中學數學的許多思想方法相通，有些則可以適當的移到中學數學中去，用高等數學思想方法指導中學數學教學，可以幫助學生剖析某些問題的本質，確定解題思路。中學數學中用到的高等數學思想方法主要有，極限思想方法、微積分思想方法、行列式的思想方法、求導法、向量法、概率法等，而本文主要就極限思想方法，導數方法在中學數學教學中的應用做出討論。

在數學和物理等一些學科中，極限思想應用比較的廣泛。一般情況下，人們往往比較關注極限求值以及證明極限方面的問題，沒有認識到其在實際問題解決方面的作用。而實際則是在進行問題解決的時候，若是能夠比較靈活的進行極限思想的運用，不但可以讓問題更好的被解決，還能夠不斷的提高學生探索和思維能力，所以教師應盡可能地在中學數學教學中滲透極限思想。

用極限思想指導學生理解相關極限內容。比如，在介紹導數時，教材中突破一般曲線的切線定義即割線無限逼近的確定位置上的直線就是該點處的切線；再結合舊知識“平均變化率表示割線的斜率”，對照動畫讓學生探究“割線逼近切線→割線的斜率逼近切線的斜率→切線的斜率對應該點處的瞬時變化率即導數”，從近似過渡到精確，通過圖形直觀逼近的方法消除學生對極限的神秘感，通過將曲線一點處的局部“放大、再放大”的直觀方法，形象地再現了“局部以直代曲”的思想方法。對于高中生來講，要完全掌握極限定義是困難的，所以教師應該通過具體實例讓學生體會其內涵。

在中學數學中，進行最值求解，配方和不等式是比較常用的方法，這些方法的優點是學生比較熟悉，并且掌握起來比較簡單，但是這些方法在技巧方面的要求比較高，面對復雜的問題適用面比較的狹窄，只能解決存在的特殊問題，在中學數學教學中添加進入導數之后，其已經成為了函數性質研究的重要手段，而導數也是每年高考必考的知識點之一。用導數方法求極值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，適用面廣，極值和最值也不易混淆。

四、 結語

在現代數學的觀點下，要溝通高等數學與中學數學的聯系，主要體現在以下三個方面：在中學數學教學中滲透現代數學的思想和觀點；用具體材料說明高等數學思想方法對中學數學教學的指導意義；指出中學數學中某些難以處理的問題的高等數學背景。只有將高等數學與中學數學緊密結合，才不會在知識及教育問題上出現斷層問題。

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