樹上非齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移矩陣的若干極限性質(zhì)

金少華,于凱麗,任雙雙,李小雪

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300401)

樹上非齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移矩陣的若干極限性質(zhì)

金少華,于凱麗,任雙雙,李小雪

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津 300401)

樹模型近年來已引起物理學(xué)、概率論及信息論界的廣泛興趣.樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為發(fā)展起來的概率論的研究方向.在概率論的發(fā)展過程中,對(duì)強(qiáng)極限定理的研究一直占重要地位,強(qiáng)極限定理也一直是國際概率論界研究的中心課題之一.本文通過引入樣本散度的概念,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅,將Doob收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究,給出了非齊次樹上m重可列非齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移矩陣的若干極限性質(zhì).

非齊次樹；鞅；馬氏鏈；強(qiáng)極限定理

1 引言

樹模型近年來引起了物理學(xué)、概率論、信息論及金融學(xué)界的廣泛興趣,樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理（又叫小偏差定理）是用不等式表示的一類強(qiáng)極限定理.強(qiáng)極限定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.關(guān)于樹上馬爾科夫鏈場的早期研究見文獻(xiàn)[1]及其所引文獻(xiàn).文獻(xiàn)[2]研究給出了N值隨機(jī)變量序列的馬爾科夫逼近和一類強(qiáng)偏差定理.文獻(xiàn)[3]研究給出了齊次樹上隨機(jī)場泛函的若干強(qiáng)偏差定理.文獻(xiàn)[4]研究給出了N值隨機(jī)變量序列對(duì)于m階齊次馬氏鏈的若干強(qiáng)偏差定理.文獻(xiàn)[5]研究給出了樹指標(biāo)隨機(jī)過程的若干強(qiáng)偏差定理.上述文獻(xiàn)研究的狀態(tài)空間均是有限集,本文將其推廣到可列無限集.本文通過引入樣本散度的概念,通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅,將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究,研究給出了非齊次樹上m重可列非齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移矩陣的若干極限性質(zhì).

2 定義

設(shè)設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)O的無限樹,{Nn,n≥1}是一正整數(shù)集,如果第n(n≥0)層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰,則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地,若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N,用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類得到模m的剩余類

當(dāng)n∈(i)時(shí),令Nn+1=αi（αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1）,i=0,1,2,···,m?1,就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,··,αm?1.

以下恒以T表示樹Tα0,α1,··,αm?1,以Ln表示第n(n≥0)層上所有頂點(diǎn)的子圖,Tn表示含有從O頂點(diǎn)到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖,S(t)表示t頂點(diǎn)的所有子代的子圖.

定義 2.1設(shè){Xσ,σ∈T}是定義在概率空間{?,F,P}上并在S={s1,s2,···}上取值的隨機(jī)變量族,設(shè)

是STm?1上一概率分布,而

是定義在Sm+1上的隨機(jī)矩陣,如果?τ∈T,σ∈Ln,有

且

則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布(1)與轉(zhuǎn)移矩陣列(2)的在S上取值的樹T上的m重非齊次馬氏鏈.

由上述定義知,上述樹T上的m重非齊次馬氏鏈的聯(lián)合分布為:

設(shè)Q是(?,F)上的另一概率測度,{Xσ,σ∈T}在概率測度Q:

定義 2.2設(shè)P和Q均如前定義,令

則稱h(P|Q)為P相對(duì)于Q的樣本散度.

3 主要結(jié)果及其證明

引理 3.1P(XTn)和Q(XTn)分別由(3)和(4)式給出,則有

由(6)式易見

引理 3.2設(shè){Xσ,σ∈T}是具有初始分布(1)與轉(zhuǎn)移矩陣列(2)的在S上取值的樹T上的m重非齊次馬氏鏈,h(P|Q)由(5)式定義,λ為任意實(shí)數(shù),令

則{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥m}在測度P下為一非負(fù)鞅.

證明由(3)式,有

而由(9)-(11)式,有

由由(13)式和條件概率的性質(zhì),有

由 (13)-(14)式,有

故{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥m}在測度P下為一非負(fù)鞅.

定理 3.1設(shè){Xσ,σ∈T}是具有初始分布(1)與轉(zhuǎn)移矩陣列(2)的在S上取值的樹T上的m重非齊次馬氏鏈,且?n＞m,有

成立.h(P|Q)由(5)式定義,令

設(shè)

若c＞0,則有

若c=0,則有

證明

textbf證明取 (?,F,P)為考慮的概率空間,由引理3.2知對(duì)任意常數(shù)λ,

在測度P下為一非負(fù)鞅.故由Doob鞅收斂定理[6]知，存在A(λ)∈F,P(A(λ))=1,使得

由 (21)式,有

由 (8)-(11)式和 (22)式,有

由 (23)式,有

由不等式

并注意到

有

由 (16),(25)式,有

由 (26)式,有

由 (24)式和 (27)式,有

若λ ＞0，由 (28)式,有

當(dāng)c＞0時(shí),因函數(shù)

在

處取得最小值

故在(29)式中令

有

又由于

則由(30)式知(17)式成立.

若c=0，將λ=1代入 (29)式,有

因P(A(1))=1,則由(31)式知(19)式成立.

若λ ＜0，由 (28)式,有

當(dāng)c＞0時(shí),因函數(shù)

在

處取得最大值

故在(32)式中令

有

又由于

則由(33)式知(18)式成立.

若c=0，將λ=?1代入(32)式,有

因P(A(?1))=1,則由 (34)式知 (20)式成立.

推論 3.1在定理3.1的條件下,若

則有

證明在(17)式和(18)式中令h(P|Q)=0 a.e.,有

由(36)式和(37)式以及定理3.1條件可得(35)式成立.

[1]Spitzer F.Markov random fi elds on an in fi nite trees[J].Ann.Probab.,1975,3:387-398.

[2]Liu W,Yang W G.The Markov approximation of the sequences of N-valued random variables and a class of small deviation theorems[J].Stochastic Process Appl.,2000,89:117-130.

[3]Peng W C,Yang W G.A class of small deviation theorems for functionals of random fi elds on a homogeneous tree[J].J.Math.Anal.Appl.,2010,361:293-301.

[4]Yang W G.A class of small deviation theorem for the sequences ofN-valued random variables with respect to mth-order nonhomogeneous Markov chains[J].Acta Mathematica Scientia,2009,29A(2):517-527.

[5]Shi Zhiyan.Some strong deviation theorems for stochastic process indexed by a tree[J].Pakistan Journal of Statistics,2013,29(3):323-337.

[6]Doob J L.Stochastic Processes[M].New York:Wiley,1953.

Many limit properties of transition matrix for a nonhomogeneous Markov chain indexed by a tree

Jin Shaohua,Yu Kaili,Ren Shuangshuang,Li Xiaoxue
(College of Science,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

In recent years,the tree model has attracted a great deal of interest among scientists from various research fi elds such as physics,probability theory,information theory etc.Moreover,stochastic process indexed by a tree has become a hot topic in the fi eld of the probability theory in recent years.The researh of the strong limit theorem has held an important position in the development process of probability theory,and the strong limit theorem is one of the central issues of the international probability theory.In this paper,through introducing the concept of sample divergence rate,constructing non-negative martingale and applies Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence,many limit properties of transition matrix form-ordered countable non-homogeneous Markov chains on a non-homogeneous tree are obtained.

non-homogeneous tree,martingale,Markov chain,strong limit theorem

2010 MSC:60B12

O177.91

A

1008-5513(2017)06-0551-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.001

2017-09-25.

河北工業(yè)大學(xué)研究生矩陣論示范課程建設(shè)項(xiàng)目(121031).

金少華(1965-),博士,教授，研究方向:概率論極限定理.