巧構幾何圖形 妙解代數問題

李冰冰

數學是中學的一門重要學科，而數學中的代數是比較復雜且枯燥的，如何解決代數問題，是數學學習過程中的一個難點，因此在解題過程中需要尋找不同的思路與方法。本文主要探討如何通過構造幾何圖形解決代數問題，將數與形結合起來，把代數問題轉換成幾何圖形，有利于直觀地看出代數式所表達的內容，能夠通過圖形將復雜的代數問題簡單化，提高解題效率，開發學生思維靈活性，提高學生分析問題、解決問題的能力。

一、代數問題幾何化的必要性

將代數問題幾何化這一思路方法，本質上就是把抽象的代數問題和具象化的幾何問題相互結合起來，相互彌補不足之處，如幾何問題的長處是能夠直觀地看出圖形，能直觀地理解兩者之間的關系，但是不足之處則是表達不夠簡練。而代數式的表達都比較簡練，但是代數是公式化的問題，解決起來比較復雜，沒有直觀的形象，因此代數問題是讓很多學生都頭痛的問題。將代數問題幾何化其本質就是把抽象問題具體化，把復雜問題簡單化，通過對圖形的處理，能夠發揮出直觀圖對抽象代數的支柱作用。

目前全國正在大力推行素質教育，而創新教育是素質教育的重要環節，因此，培養學生的創新能力是全國推廣素質教育的重點，而創新能力培養的重點就是加強學生的創新思維能力，創新思維能力的實質是通過不同的思路、不同解題方法的綜合運用，在前人解決問題的基礎上，通過發散性思維的創造，能夠有新的解決問題的思路，在數學的學習上培養學生的創新能力，也顯得尤為重要。

本文通過對勾股定理將代數問題幾何化的研究，開拓初中生的思維能力，培養解決問題的創新方法。

二、代數問題幾何化的基本步驟

數學是一門很神奇的學科，數學中的很多代數問題都可以轉換成圖形來解決，如果單純使用代數來解決問題，則會比較困難，而數學中的數字都能轉換成圖形，這就代表在代數解題時也可以通過構建圖形來解決。一些代數問題本身比較復雜，對于初中生來說解決起來比較困難，甚至會出現無從下手的情況。通過將有明顯意義的代數轉換成幾何問題來研究，從而獲得問題的解決方法，這一方式通常被稱為構造圖形法。但是代數問題幾何化的關鍵，在于引導學生去觀察代數、分析代數的性質，將代數類比成幾何圖形，發揮聯想的能力，然后找出代數和幾何的共同點，建立幾何模型。一般用幾何方法來解決代數問題，都是以下幾個步驟：首先，需要構建一個代數模型，將需要求解或推導的代數通過適當的變形和轉換，使其能夠成為我們應用公式的圖形；其次，通過第一個步驟的變形，建立一個幾何模型，注意，這個幾何模型需要符合代數式的特點，例如，面積是平方，體積是立方，兩點之間距離是線段，像三角形、圓形、橢圓、圓柱等，都可以用來構建幾何模型；最后，將代數問題幾何化，就是在第二步建立幾何模型的基礎上，通過分析幾何模型，其實就是分析代數式的過程，解決代數式中需要推導的問題。

三、代數問題幾何化的應用

勾股定理是在一個直角三角形中直角邊分別為a和b，斜邊為c，直角邊a的平方加b的平方等于c的平方。勾股定理的證明方法多種多樣，而它是在數學定理中能夠被證明最多的定理之一。所以勾股定理可以說是數形結合的典范，無論是通過圖形來推導勾股定理，還是用勾股定理來構建圖形，都是能夠通過很多方法去驗證的。

如何構建圖形來準確得到勾股定理？我們來舉下面這個例子。第一個方法：首先構建八個全等的直角三角形，全等直角三角形的定義就是三邊相等、角度相等、形狀相等的直角三角形。假設這些三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，然后構建三個邊長分別為a、b、c的正方形，像圖1、圖2一樣拼成兩個正方形，從下圖兩個拼法可以看出，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以這兩個正方形的面積相等，那轉換成代數的話就可以推導出一個等式，左邊正方形的面積是a2+b2+4×ab，而右邊正方形的面積是c2+4×ab。整理這個等式之后，就能夠得出a2+b2=c2。

其實，勾股定理的證明方法有很多種，勾股定理可以說是所有數形結合的基礎，也是最早開創數形結合的鼻祖。國內外研究勾股定理的學者專家數不勝數，這里只是簡單列舉一些比較基本的方法，也是為今后數形結合的學習打下基礎。

總之，數學問題的解決方式很多都是相通的，尤其是代數與圖形之間。代數在數學中是一個很寬泛的概念，因此我們在解決代數問題時，不能僅把思路局限于代數之中，更多時候可以換一種解題思路，將代數轉換成幾何圖形，這是一種很好的方法。在一定程度上將代數問題轉換成幾何圖形的問題，有利于直觀地看出代數式所表達的內容，也能夠通過圖形將復雜的代數問題簡單化，提供多種解題思路。在這轉化過程中，鍛煉了學生的推導能力。將代數問題轉換成幾何問題對學生能力也是一種考驗，如何將代數和幾何的圖形應用聯系起來，需要學生充分發揮發散性思維，由此鍛煉了學生的動腦積極性和思維靈活性。另外，將數與形結合起來，有利于將復雜的問題簡單化，提高解題效率，數和形的結合，能夠加強學生對數學的綜合學習能力，也可以提高學生分析問題、解決問題的能力。

（作者單位：福建省漳州市石亭中學）