抽屜原理與數學邏輯的關系

陳卓然 湖南省長沙市實驗中學

抽屜原理與數學邏輯的關系

陳卓然 湖南省長沙市實驗中學

摘抽屜原理作為一種常用的數學解題思路，其具有一定的邏輯性，為了更好地在數學學習中利用這一原理，就應該深入分析抽屜原理和數學邏輯二者之間的關系。本文將從分析抽屜原理的內涵出發，探索其對數學邏輯闡述的作用，再對高中數學學習運用該原理提出一些建議。

抽屜原理 數學邏輯 關系

高中數學是非常重要的學科，不僅能夠給學生未來的學習打下基礎，還能夠幫助學生養成嚴謹的邏輯思維能力。而抽屜原理是組合數學中非常經典、有用的基礎原理，掌握好抽屜原理可以更好的解答很多數學難題，有利于理解一些抽象、復雜的數學理論。因此，了解和分析二者之間的關系是有重大積極意義的，對于我們高中學生來說，充分發掘抽屜原理中的有效價值，會促進數學邏輯思維能力的提升。

1 概述抽屜原理

1.1 含義

數學理論學習中，經常會出現這樣一類問題，探究存在事實情況的數學問題，比如，有13個人在一起上課，其中最少有兩個人的生肖是相同的。又如，1004個人在隨機分成100個小組，這些小組中至少有一個組的人數超過了10人。這種存在性分析類問題里，所謂的“存在”就是保證在該條件下至少會出現一個這種情況。想要快速解答這種類型的問題時，只需要證明其有存在的可能，并不要求指出是具體的哪一個，也不用通過某種方法把這個存在的情況確定出來。類似這種“存在性”問題，相較于其他數學問題來說中間基本不會涉及到復雜的運算步驟，依靠的解題思路也很簡單，所以把解答這類問題的理論歸納總結為“抽屜原理”。

該原理最早是德國的一名數學家迪里赫萊創造性地提出來用于解決一些常見數學問題，所以也用他的名字來命名這一原理。還可以簡潔地把迪里赫萊原理概括為“若把11只鴿子分放到10個鴿籠里面，保證每一個鴿籠里面都要有鴿子，那么其中一個籠子里面必然存在兩只鴿子”。這是非常淺顯易懂的道理，但在實際應用該原理時，卻能夠快速有效的解決許多抽象問題，并且答案往往都會讓人覺得匪夷所思。

1.2 一般形式

抽屜原理在現實應用中通常以兩種抽屜原理形式出現。第一種原理的形式主要表現為：首先，把數量大于n的所有物品分別放到n個柜子里面，那么其中至少應該存在一個柜子里面存在兩件或以上的物品。可以運用反證法予以證明，假設一個抽柜子最多只可以放一個物品，那么可以放的物品的總量最多是n個，而不是題干中交代的n+a(a≥1)，因此這是不可行的。其次，將大于mn個的物品放在n個柜子里面，則最少都有一個柜子其里面裝了大于或等于m+1個物品。再通過反證法來證明，如果每個柜子只能放m個物品進去，而n個柜子最多只可以放mn個物品，和題目要求相矛盾，所以也不可能。最后，把無窮多的物品放到n個柜子中，那么最少存在一個柜子會有無窮個物品。上述三種都是第一抽屜原理在現實中常見的表述方式。第二抽屜原理的典型形式是把（ab－1）個物品全部放到a個柜子中，其中必然會出現一個柜子里最多只能放入（b—1）個物品。同樣利用反證法來證明一下，假使每一個柜子中都能夠存放不少于b個物體，則所需要的物品總量應該至少是ab，顯然和前面的條件不相符合，因此這是沒有可行性的。

2 抽屜原理和數學邏輯的關系

2.1 有利于理清解題思維

我們高中學生在學習一些重要數學理論時，經常會容易出現思維混亂，找不清頭緒的情況。對此，運用抽屜原理非常有利于梳理相關數學邏輯思維順序，從而將數學難題有序解開。比如，在解答這道關于自然數整除的問題時，任意選取出了8個自然數，其中肯定會有兩個數相減后得出7的倍數。想要得出這道題的答案，必須明白數的整除問題具備怎樣的特點，也就是指當兩個整數m、n，二者同時和一個自然數a相除，得到的余數是一樣的，那么證明這兩個數的差m-n一定會是a的倍數。明白這個特點之后，解答該題的思路也就豁然開朗，只需要證實在題目中提到的8個自然數中，肯定存在2個自然數和7相除得到的余數一樣。此時，把自然數和7相除可能得到的情況分列出來，可以發現一共有7種不同情況，包括余數可能為0到6的七種狀況。把這些不同情況當成是有7個抽屜，將任取的8個自然數投放到各個抽屜中，再依靠抽屜原理的思路，可以發現至少應該有兩個數在相同抽屜之中，代表其與7相除后余數一樣。因此，可以得出結論它們的差肯定可以和7整除。

2.2 幫助建立數學邏輯思維模式

當數學問題比較抽象時，可以充分利用抽屜原理來輔助建立嚴密的邏輯思維，便于正確理解和解答問題。例如，當5位學生分別從一個裝有黑白棋子的口袋中摸出3枚棋子，請證明有最少兩個學生得到棋子顏色完全相同。做這道題不可能真的做實驗來解決，只能通過在腦海中的邏輯推理來分析，首先確定3枚棋子不同的顏色排布情況，既可能全黑，兩黑一白，也可能一黑兩白或是全白，將它們看作4個抽屜。依據抽屜原理，可以知道至少應該有兩名學生的棋子完全相同。

作為一名高中學生應該熟練掌握抽屜原理的內涵和使用方法，對于提高數學邏輯思維能力具有重要作用。抽屜原理也屬于數學邏輯的一種，二者之間有著廣泛聯系。

[1]賈忠淼,沈林.抽屜原理在數學解題中的應用[J].湖南農機,2013,(09):229+231