立體幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)及解題方法

河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 杜 瑜

立體幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)及解題方法

河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 杜 瑜

編者的話:基本知識(shí)和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。本期特約河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)杜瑜等幾位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識(shí)。河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)是河南省名牌高中,多年來(lái)高考成績(jī)一直在全省名列前茅。愿同學(xué)們通過(guò)閱讀,能從中感悟知識(shí)的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點(diǎn)與趨勢(shì)。

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)框架

二、解題方法

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)板塊之一,在高考中占有重要位置。解立體幾何試題可以提高同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,基本的解題方法是綜合法,在這個(gè)基本方法下,還有一些技巧性方法,下面做簡(jiǎn)單介紹。

方法一:還原幾何體法

類(lèi)型1.模型法還原空間幾何體

例1 已知某幾何體的三視圖如圖1所示,正視圖和側(cè)視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,俯視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體的體積為( )。

圖1

思路點(diǎn)撥:根據(jù)三視圖可以判斷該空間幾何體是正方體的一部分,先畫(huà)出正方體,再根據(jù)三視圖確定空間幾何體。

解析:該幾何體的直觀圖(圖2)為正方體中的一個(gè)三棱錐B-A1C1D1,其體積為單位正方體體積的,即該幾何體的體積為。故選A。

圖2

類(lèi)型2.模型法判斷空間位置關(guān)系

例2 已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中為真命題的序號(hào)是( )。

①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,則α∥β;

②若l?α,l∥β,α∩β=m,則l∥m;

③若l∥α,α∥β,則l∥β;

④若l⊥α,l∥m,α∥β,則m⊥β。

A.①④ B.①③ C.②④ D.②③

思路點(diǎn)撥:長(zhǎng)方體中存在各種平行、垂直關(guān)系,構(gòu)造長(zhǎng)方體模型,結(jié)合選項(xiàng),考慮線面位置的各種可能,從而作出判斷。

解析:構(gòu)造長(zhǎng)方體模型。命題①,如圖3,顯然不正確,排除選項(xiàng)A、B。根據(jù)選項(xiàng)C,D可知②一定正確,只要判斷③是否正確即可得出結(jié)論。對(duì)于命題③,如圖4,有直線l在平面β內(nèi)的可能,所以命題③不正確。綜上可知,正確選項(xiàng)為C。

圖3

圖4

方法總結(jié):長(zhǎng)方體、三棱錐等模型包含了空間線面位置關(guān)系的所有可能,在進(jìn)行空間線面位置關(guān)系的分析判斷時(shí),借助于幾何模型的直觀作用,能提高解題的準(zhǔn)確率。

方法二:展開(kāi)法

圖5

圖6

例3 如圖5,正三棱錐S-A B C中,∠B S C=4 0°,S B=2,一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)B出發(fā),沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長(zhǎng)為( )。

A.2B.3

C.2 3 D.3 3

解析:由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是沿三棱錐的側(cè)面,故把側(cè)面展開(kāi)后,所求的最小距離就是展開(kāi)后點(diǎn)B與B′之間的線段的長(zhǎng)度。把該正三棱錐的側(cè)面沿側(cè)棱S B展開(kāi)成平面圖形,如圖6,設(shè)B B′的中點(diǎn)為D,連接S D,在△S B B′中,S B=S B′=2,∠B S B′=1 2 0°,所求的最短路線的長(zhǎng)度就是B B′的長(zhǎng)度,B B′=2B D=2 3。故選C。

方法總結(jié):涉及空間幾何體表面上折線、曲線長(zhǎng)度之和的最值問(wèn)題時(shí),把空間幾何體的表面展開(kāi),把折線、曲線轉(zhuǎn)化為直線。

方法三:割補(bǔ)法

例4 已知某幾何體的三視圖如圖7所示,則該幾何體的體積為( )。

圖7

思路點(diǎn)撥:幾何體是由圓柱切割得來(lái),把其補(bǔ)充為圓柱,利用補(bǔ)充前后的體積關(guān)系得之。

解析:該幾何體是一個(gè)底面半徑為1,高為4的圓柱被一個(gè)平面分割成兩部分中的一個(gè)部分,故其體積為π×12×4-×12×2=3 π,選C。

方法總結(jié):涉及空間幾何體表面上折線、曲線長(zhǎng)度之和的最值問(wèn)題時(shí),把空間幾何體的表面展開(kāi),把折線、曲線轉(zhuǎn)化為直線。

方法四:平行線法

類(lèi)型1.平行線法求兩異面直線所成的角

圖8

例5 如圖8,在正△A B C中,D,E,F分別為各邊的中點(diǎn),G,H分別為D E,A F的中點(diǎn),將△A B C沿D E,E F,D F折成正四面體PD E F,則四面體中異面直線P G與DH所成的角的余弦值為_(kāi)___。

圖9

解析:畫(huà)出立體圖形,根據(jù)中點(diǎn)找平行線,把所求的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角。如圖9,連接HE,取HE的中點(diǎn)K,連接G K,PK,則G K∥DH,故∠P G K即為所求的異面直線所成的角或其補(bǔ)角。設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2,在△P G K中,P G=3,c o s∠P G K=,即異面直線P G與DH所成的角的余弦值是。

方法總結(jié):兩異面直線所成角的最基本求法是根據(jù)定義,把其化為兩相交直線所成的角,平行線法是實(shí)現(xiàn)上述轉(zhuǎn)化的基本方法。

類(lèi)型2.線面垂直法求線面角

例6 如圖1 0,在三棱柱A B C-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則B B1與平面A B1C1所成的角的大小為( )。

圖10

解析:如圖1 1,分別取B C,B1C1的中點(diǎn)D,D1,連接A D,D D1,A D1,顯然D D1⊥B1C1,A D1⊥B1C1,故B1C1⊥平面A D D1,故平面A B1C1⊥平面A D D1,故D D1在平面A B1C1內(nèi)的射影在A D1上,∠A D1D即為直線D D1與平面A B1C1所成的角。在R t△A D1D中,A D=,D D=3,所以t a n∠A DD=所11以∠A DD=。因?yàn)锽 B∥D D,111所以直線B B1與平面A B1C1所成的角的大小為。故選A。

方法總結(jié):直線與平面所成的角是平面的斜線與其在該平面內(nèi)射影所成的角,作線面角時(shí)離不開(kāi)線面垂直。

類(lèi)型3.線面垂直法求二面角

例7 已知點(diǎn)E,F分別在正方體A B C D-A1B1C1D1的棱B B1,C C1上,且B1E=2E B,C F=2F C1,則平面A E F與平面A B C所成的二面角的正切值為_(kāi)___。

思路點(diǎn)撥:兩個(gè)平面A E F與A B C有一個(gè)公共點(diǎn)A,只要再找到這兩個(gè)平面的另一個(gè)公共點(diǎn)即可作出兩個(gè)平面的交線,然后根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系不難作出二面角的平面角,具體計(jì)算即可。

圖11

圖12

解析:如圖1 2,在平面B C1內(nèi)延長(zhǎng)F E與C B相交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥A G。又E B⊥A G,所以A G⊥平面B EH,所以EH⊥A G,所以∠BHE是平面A E F與平面A B C所成二面角的平面角。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,可得B E=,B G=a,所以BH=,則t a n∠BHE==。 方法總結(jié):二面角是高考中的一個(gè)考查重點(diǎn),一般偏重使用空間向量的方法求解,實(shí)際上幾何法求二面角更為簡(jiǎn)潔明了,其關(guān)鍵是作出二面角的平面角,基本方法是在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面的垂線A B,B為垂足,再過(guò)垂足B作二面角棱的垂線B C,垂足為C,則可得二面角的棱垂直平面A B C,從而A C垂直于二面角的棱,即∠A C B為二面角的平面角。應(yīng)用這種方法作出的二面角的平面角在一個(gè)直角三角形中,角的求解非常簡(jiǎn)單。

圖13

跟蹤練習(xí):如圖1 3,在三棱錐S-A B C中,S A⊥底面A B C,A B⊥B C。D E垂直平分S C,且分別交A C,S C于點(diǎn)D,E。又S A=A B,S B=B C,求二面角E-B D-C的度數(shù)。

解析:連接S D(圖1 4)。設(shè)S A=1,則A B=1,S B=2,B C=2,S C=2· 2=2。在 R t△S A C中,A C===。

圖14

因?yàn)镋 B是R t△S B C斜邊S C上的中線,所以E B=1,連接S D,則S D平分∠A S C,∠A S D=∠D S E=3 0°。在R t△D E S中,D E=S Et a n 3 0°=1×=,從而C D=A C-A D=-=。

在R t△A B C中,設(shè)B D=x(圖1 5)。

圖15

故∠E D C是所求二面角的平面角。

在R t△D E C中,因?yàn)椤螪 C E=3 0°,所以∠E D C=6 0°,故所求二面角的度數(shù)為6 0°。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)