空間幾何和解析幾何核心考點A卷

河南省商丘市第一高級中學 張書勤

空間幾何和解析幾何核心考點A卷

河南省商丘市第一高級中學 張書勤

編者的話:強化對核心考點的演練、注重對經典題型的歸納,是學好數學的秘訣,基于此,本刊編輯部特開設此欄目,希望同學們能認真對待。從本期開始,如果都能把試卷保存好,對以后的復習大有裨益。

一、選擇題

1.直線xt a nπ+y+2=0的傾斜角α是3( )。

2.已知α,β表示兩個不同的平面,m為平面α內的一條直線,則“α⊥β”是“m⊥β”的( )。

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件

3.若雙曲線-=1(a＞0)的離心率為2,則a等于( )。

4.在正三棱柱A B C-A1B1C1中,若A B=2B B1,則A B1與C1B所成的角的大小為( )。

A.6 0° B.9 0° C.1 0 5° D.7 5°

圖1

5.如圖1,A B C DA1B1C1D1是正方體,B1E1=DF=,則B E與D F1111所成角的余弦值是( )。

6.如圖2,已知六棱錐P-A B C D E F的底面是正六邊形,P A⊥平面A B C,P A=2A B,則下列結論正確的是( )。

圖2

A.P B⊥A D

B.平面P A B⊥平面P B C

C.直線B C∥平面P A E

D.直線P D與平面A B C所成的角為4 5°

A.0 B.1 C.2 D.3

8.已知A(4,0)、B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線A B反向后再射到直線O B上,最后經直線O B反射后又回到P點,則光線所經過的路程是( )。

1 0.設集合A={(x,y)+=1},B={(x,y)y=3x},則A∩B的子集的個數是( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

1 1.橢圓滿足這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點發射光線,經橢圓反射后,反射光線經過橢圓的另一個焦點。現在設有一個水平放置的橢圓形臺球盤,滿足方程+=1,A,B是它的兩個焦點,當靜止的小球放在點A處,從點A沿直線出發,經橢圓壁(非橢圓長軸端點)反彈后,再回到點A時,小球經過的最短路程是( )。

A.2 0 B.1 8 C.1 6 D.以上均有可能

1 2.以下四個命題:①一條直線和另一條直線平行,它就和經過另一條直線的任何平面平行;②一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內的任何直線平行;③過平面外一點和這個平面平行的直線有且只有一條;④平行于同一平面的兩條直線互相平行。其中錯誤命題的個數為( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

圖3

1 3.在正方形A B1B2B3中,E、F分別是B1B2、B2B3的中點,如圖3所示,現沿著A E、A F、E F把這個正方形折成四面體,若B1、B2、B3三點重合,重合后的點記為B,那么四面體A E F B中必有( )。

A.A B⊥平面E F B

B.A D⊥平面E F B

C.B F⊥平面A E F

1 4.設橢圓+=1(m＞0,n＞0)的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同,離心率為,則此橢圓的方程為( )。

1 5.已知A={(x,y)|y-3x ≤4},B={(x,y)|x2+(y-a)2≤1},若A∩B=B,則a的取值范圍是( )。

A.[2,+∞) B.(-∞,-2]

C.[-2,2] D.(-∞,2]∪[2,+∞)

1 6.正四棱錐S-A B C D的高S O=2,底邊長A B=2,則異面直線B D和S C之間的距離為( )。

1 7.由直線y=x-1上的一點引圓(x-3)2+y2=1的切線,則切線長的最小值為( )。

A.1 B.2 2 C.7 D.3

1 8.已知向量m=(2 c o sα,2 s i nα),n=(3 c o sβ,3 s i nβ),若m與n的夾角為6 0°,則直線xc o sα-ys i nα+=0與圓(xc o sβ)2+(y+s i nβ)2=的位置關系是( )。

A.相交但不過圓心 B.相交過圓心

C.相切 D.相離

A.2 B.3 C.4 D.2 2

2 0.正方體A B C D-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且E F=,則下列結論中錯誤的是( )。

A.A C⊥B E B.E F∥平面A B C D

C.三棱錐A-B E F的體積為定值

D.異面直線A E,B F所成的角為定值

2 1.一個四面體的五條棱長分別為1,1,1,1,2,若該四面體的體積為,則這樣的四面體最多有( )。

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

2 2.F1、F2為橢圓兩個焦點,Q為橢圓上任一點,過任一焦點作∠F1Q F2的外角平分線的垂線,垂足為P,則P點軌跡為( )。

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

2 3.數學家歐拉在1 7 6 5年提出定理:三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線后人稱之為三角形的歐拉線。已知△A B C的頂點A(2,0),B(0,4),若其歐拉線方程為x-y+2=0,則頂點C的坐標是( )。

A.(-4,0) B.(-4,0),(-2,0)

C.(-4,2) D.(-4,0),(-3,0)

2 4.過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于5,則這樣的直線( )。

A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條

C.有無窮多條D.不存在

2 5.在直三棱柱A B C-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠A C B=9 0°,側棱A A1=2,D,E分別是C C1與A1B的中點,點E在平面A B D上的射影是△A B D的重心G。則A1B與平面A B D所成角的余弦值( )。

2 6.由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的陰影部分圖形(如圖4),繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V1;滿足x2+y2≤1 6,x2+(y-2)2≥4的點(x,y)圍成的陰影部分圖形(如圖5)繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V2。則( )。

圖4

圖5

2 7.正四棱柱A B C D-A1B1C1D1中,底面邊長為2 2,側棱長為4,E,F分別為棱A B,C D的中點,E F∩B D=G。則三棱錐B1-E F D1的體積為( )。

2 8.設拋物線y2=2x的焦點為F,過點M(3,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于點C,B F =2,則( )。

二、填空題

2 9.一輛卡車高3米,寬1.6米,欲通過拋物線形隧道,拱口寬恰好是拋物線的通徑長,若拱口寬為a米,則能使卡車通過的a的最小整數值是____。

3 0.橢圓=1的焦點為F1,F2,點P在橢圓上,若|P F1|=4,則|P F2|=;∠F1P F2=。

3 1.已知實數x,y滿足x2+y2+2x=0,則x+y的最小值為____。

3 2.已知點P在直線l:y=x-1上,若存在過P的直線交拋物線y=x2于A,B兩點,且|P A|=|P B|,則稱點P為“Λ點”,有下列結論:①直線l上的所有點都是“Λ點”;②直線l上僅有有限個點是“Λ點”;③直線l上的所有點都不是“Λ點”;④直線l上有無窮多個點是“Λ點”。其中正確的是____。(填寫正確結論的序號)

3 3.已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0。a1,a2,…,a11是過點(3,5)的1 1條圓的弦長,若數列a1,a2,…,a11是等差數列,則數列a1,a2,…,a11的公差的最大值為____。

3 4.在正方體A B C D-A1B1C1D1中,E為A1B1的中點,則異面直線D1E和B C1間的距離____。

3 6.已知P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為____。

3 7.圓C的方程為(x-2)2+y2=4,圓M的方程為(x-2-5 c o sθ)2+(y-5 s i nθ)2=1(θ∈R),過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線P E,P F,切點分別為E,F,則·的最小值是____。

3 8.已知棱長為1的正方體A B C DA1B1C1D1中,E,F分別是B1C1和C1D1的中點,則點A1到平面D B E F的距離為____。

圖6

3 9.如圖6,O是半徑為1的球的球心,點A,B,C在球面上,O A,O B,O C兩兩垂直,E,F分別為大圓弧A B與A C的中點,則點E,F在該球上的球面距離是____。

4 0.如圖7,過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于兩點A,B,若A,B在拋物線的準線l上的射影分別是A1,B1,則∠A1F B1=。

圖7

4 1.有一個角為3 0°的三角板,斜邊放在桌面內,三角板與桌面成3 0°的二面角,則三角板最短邊所在直線與桌面所成角的正弦值為。

圖8

4 2.如圖8,直三棱柱A B B1-D C C1中,∠A B B1=9 0°,A B=4,B C=2,C C1=1,D C上有一動點P,則△A P C1周長的最小值為。

4 3.在棱長為1的正方體A B C DA1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,C D的中點,則點B到截面A E C1F的距離為____。

三、解答題

(Ⅰ)試求圓C的方程。

(Ⅱ)若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A,B,滿足C A⊥C B,求直線l的方程。

4 5.已知正四棱柱A B C D-A1B1C1D1,A B=1,A A1=2,E為C C1的中點,F為B D1的中點。

(1)證明E F為B D1與C C1的公垂線;

(2)求點D1到面B D E的距離。

4 6.已知橢圓C的中心為直角坐標系x O y的原點,焦點在x軸上,它的x軸上的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1。

(1)求橢圓C的方程;

(2)若P為橢圓C的動點,M為過點P且垂直于x軸的直線上的點,=e(e為橢圓C的離心率),求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。

4 7.已知拋物線x2=2p y(p＞0)和直線y=b(b＜0),點P(t,b)在直線y=b上移動,過點P作拋物線的兩條切線,切點分別為A,B,線段A B的中點為M。

(1)求點M的軌跡;

(2)求|A B|的最小值;

圖9

4 8.如圖9,P A⊥面A BC D,四邊形A B C D是矩形,P A=A B=1,P D與平面A B C D所成角是3 0°,F是P B的中點,點E在邊B C上移動。

(1)當E為B C的中點時,試判斷E F與平面P A C的位置關系,并說明理由;

(2)證明:無論點E在邊B C的何處,都有P E⊥A F;

(3)當B E等于何值時,二面角P-D E-A的大小為4 5°?

圖10

4 9.如圖1 0,定圓C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1,動點P在直線l:x+y-6=0上移動,過P向圓C1和C2引切線,切點分別為M,N。

(1)若|PM|=|PN|,求點P的坐標;

(2)若不論P在直線l上的任何位置,恒有|PM|2+|PN|2＞λ|P O|2成立,求正數λ的最大值。

圖11

5 0.如圖1 1,已知正三棱柱A B C-A1B1C1的各棱長都為a,P為A1B上的動點。

5 1.直線:y=k x+1與拋物線:y2=4x交于A,B兩點,O為坐標原點,拋物線的準線與x軸的交點為P,若·＜0,求·的最小值。

(責任編輯 劉鐘華)