思在本質處 琢在融合中
——“雞兔同籠”教學實踐與反思

莊聲財

（三明學院附屬小學，福建 三明 365000）

思在本質處 琢在融合中
——“雞兔同籠”教學實踐與反思

莊聲財

（三明學院附屬小學，福建 三明 365000）

站在知識生長的起點上、源頭處，不斷經歷猜測——在驗證中發現規律——運用規律進行調整的全過程，促使學生主動架構，進而解決問題；從本質處入手，發現規律，體驗列表法與假設法本質上的聯系；利用列表在形象思維過渡到抽象思維的過程中搭建一座橋，成為發展學生思維能力的載體，做到心中有表，表中有式，通過借表悟式，以式解表，達成表式合一。

猜測與嘗試；本質；假設法；融合；數學思想方法

“雞兔同籠問題”由原來六年級學習的內容調整到四年級，這給學習帶來一定的難度，教材中不僅有猜測列表法，而且呈現假設法，注重體現解決問題的不同思路和方法。實際教學中，教師往往把列表法作為一個過渡，只是蜻蜓點水，驗證出雞兔只數，接著另起爐灶，重新大筆墨地結合圖示法來假設。列表法與假設法是否有本質的聯系，能否借助列表幫助學生在假設中“知其然并知其所以然”，在整合中融會貫通，達到對假設法“真正意義”的理解呢？

一、在嘗試中架構

“雞兔同籠”問題是“數學廣角”的一個典型課例，解答“雞兔同籠”問題常用“假設法”，但對于四年級學生來說，理解上是有一定的困難的。如何讓學生經歷“假設法”來解答“雞兔同籠”問題的生長過程，必然需要學生站在知識生長的起點上、源頭處。［1］那么用“假設法”解答的起點和源頭又是什么？正是比較原始的方法“猜測與嘗試”，也就是“湊”，而“湊”的方法是學生比較容易理解的。如讓學生在知識生長的起點上經歷“湊”的全過程：

1.猜獎品的價格，根據老師提供的“高了”或“低了”的提示進行調整。回顧思路并板書：猜測——驗證——調整。

2.雞兔同籠，有8個頭。

（1）猜猜可能有幾只雞幾只兔？

（2）這么多猜測有什么好方法可以將所有的猜測直觀地展現出來，而且不重復也不遺漏呢？（生：列表）

3.增加條件：有20條腿，現在你知道有幾只雞，幾只兔嗎？

（1）想想猜價格的時候，第一步做了什么事？（猜測）

（2）學生經歷猜測（一只雞7只兔）——驗證（2×1＋7×4=30）——調整（2只雞6只兔）——驗證（2×2＋6×4=28）—— 調整（3只雞5只兔）——驗證（2×3＋5×4=26）這樣嘗試的全過程。

（3）引導思考：“如果不列式計算，能不能很快得到腿數呢？”（學生在嘗試過程中及觀察表格就能發現每增加一只雞，減少一只兔就會減少2條腿）；“那為什么每次腿數都依次減少2呢？”（一只雞與一只兔腿數的相差數）。

（4）讓學生應用剛才發現的規律快速進行調整并完成表格：

【思考】在以上教學片段中，教師從學生很容易理解的原始的“湊”的方法開始，在引入時就主動建立“猜測——驗證——調整”的基本結構與方法，學生在運用這一方法“湊”出結論的過程中，感悟到“假設法”的流程與雛形，在這一過程中，調整是關鍵與核心，如何調整？學生在經歷“雞的只數×2＋兔的只數×4是否等于腿的總數20”的驗證與調整的過程，“不列式計算，能不能很快得到腿數呢？”“為什么每次腿數都減少2呢？”進一步引發學生深層思考。課上不斷讓學生經歷猜測——驗證中發現規律——運用規律進行調整，促使學生主動架構，進而解決問題，有助于他們掌握這一研究方法的基本結構，在今后的學習中實現遷移。

二、在本質處融合

學生通過列表枚舉把符合問題的所有可能答案逐個找出，在“猜測與嘗試”中得到問題的答案，這是一種非常實用的解決問題的策略。但僅僅把列表作為一種獨立解決問題的方法，有很大的局限性，對一些數據較大的題目，學生要花費很多時間才能完成。因此在教學中，不僅要讓學生學會解決問題，更要讓學生抓住解題思路的核心學會思考，體驗列表法與假設法在本質上的聯系，讓“猜測與嘗試”不再僅僅是“湊”，而更具有思維含量。在教學中如何將直觀的列表法與抽象的假設法進行溝通與聯系從而達到融合呢？如引導學生運用規律逆向思考，進而一步調整：

1.引導學生觀察表格并思考：如果要減少2條腿，雞和兔的只數怎樣變化？如果一次性要減少6條腿，雞和兔的只數又該怎么調整?（增加一只雞，減少一只兔，就會減少2條腿，那現在減少6條腿，就要看6里面有幾個2，6÷2=3那就是減少3只兔，雞就要增加3只）

2.引發思考：像剛才一只一只調整很麻煩，既然找到了規律，猜測1只雞7只兔的有30條腿，而題目中，實際是20條腿，能不能利用規律一次性調整到20條？（要從30條腿調整到20條，必須減少10條腿，那10里有5個2，所以兔就要減少5只，就是7-5=2只，雞就要增加5只，所以1+5=6只）

3.師：猜測可以從1只雞7只兔開始，也可以從3只雞5只兔開始，或者先猜7只雞1只兔，然后一步調整。既然都要進行調整，我們來做個大膽的假設，假設有8只雞，0只兔，你覺得哪種方法腿數更好計算？為了便于計算，通常假設全是雞或者全是兔。引導學生思考完成下表：

【思考】列表法是先合情猜測（籠內有雞也有兔，一共有8只），再一個一個地進行嘗試，而假設法是“假設全部是雞或全部是兔”來思考的，教師若能將兩種方法聯系起來，引導學生經歷從猜測到假設的優化過程，則能較好地揭示方法的本質，有利于促進學生的理解及不同方法靈活應用。當學生感受到一個個嘗試很麻煩，引導學生從合情猜測過渡到合情推理，在調整的過程中，一步步地進行優化與提升，讓學生自己發現規律，總結方法，感悟出列表其實也是假設法的另一種表現形式，假設法可以看成是對列表法的進一步抽象和提升，兩者本質上都是運用規律進行調整。如果把整個數學學習的方法體系看作一棵大樹的話，引導學生大膽嘗試，從本質處入手，發現規律，總結方法，這才是數學學習中具有廣泛遷移性和生長性的根。［2］

三、在融合中升華

“數學廣角”是人教版教材中的一個亮點，怎樣讓每一位學生能真正體驗和感悟數學思想方法？這是教學“雞兔同籠問題”要思考的方向。如何將數學思想方法嚼碎，以學生可以理解的簡單形式，系統而有步驟地向學生滲透，在活動中體驗，在運用中感悟。

如在教學中引導學生借表悟式，出示兩個表格：

1.觀察這兩個表格，還原題意。

2.這兩個表格分別是怎樣假設和調整的？

3.怎么才能讓表格會說話，把思路用算式表示出來。

假設全是雞

10×2=20（條）…………（10只雞腿數）

26-20=6（條）…………（需調整的腿數）

6÷2=3（只）………（因為表格中兔的只數是0，因此這里需調整的數量就是兔的只數）

10-3=7（只）…………（雞的只數）

4.獨立練習：雞兔同籠,有20個頭,54條腿,雞、兔各有多少只？（可以列表，并把思路用算式表示出來）

【思考】將直觀的列表法與抽象的假設法融合，最終將自己的思路用算式表示出來，學生在觀察、歸納和交流中，不斷地思考、多次地感悟、逐漸地明朗，直到最后主動應用。學生根據列表中發現的規律輕松獲得計算的方法。列表嘗試不再是“笨”方法，而是幫助學生理解假設法的“拐杖”，利用列表在形象思維過渡到抽象思維的過程中搭建一座橋，成為發展學生思維能力的載體，做到心中有表，表中有式，一定不會出現假設誰算出來不知道是誰的尷尬情況了。通過借表悟式，以式解表，達成表式合一，這正是數學學習所倡導的數形結合。

［1］郞建勝.關注本質，為理解而教［J］.小學數學教師，2015（11）.

［2］鄭毓信.數學方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，2003.

陳志華）