資金時間價值計算難點的分析及解決

在《財務(wù)管理》的學(xué)習(xí)過程中，主要秉持兩大價值理念，即資金的時間價值和風(fēng)險價值。其中，風(fēng)險價值的計算相對來說比較制式化，學(xué)生只需要結(jié)合在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等學(xué)科中學(xué)到的“期望”、“方差”知識，將相關(guān)數(shù)據(jù)按照固定的步驟和每一步固定的公式代入，就可以計算出風(fēng)險價值的大小。而另一個價值理念資金的時間價值一直是《財務(wù)管理》的重點和難點，之所以說它重要是因為該學(xué)科中籌資管理，投資管理等的決策都要依賴于資金時間價值的基礎(chǔ)知識，但與風(fēng)險價值的計算不同，時間價值的計算沒有固定的條框可以遵循，因此一直是學(xué)生認(rèn)為比較難攻克的一座大山。針對這個難題，筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗，分析了資金時間價值計算難點產(chǎn)生的原因，在此基礎(chǔ)上以遞延年金為例，就資金時間價值計算中的難點做以討論和解決。

一、資金時間價值計算難點產(chǎn)生的原因

資金時間價值雖然也像風(fēng)險價值一樣，需要公式的代入，但是不同的是資金的時間價值被區(qū)分成了很多不同的類型，整個時間價值首先被區(qū)分為復(fù)利和年金兩個概念，進(jìn)一步細(xì)分的話，年金又包括了普通年金、預(yù)付年金、遞延年金和永續(xù)年金四種類型，同時每種年金又要計算其終值和現(xiàn)值，個別年金的終值現(xiàn)值公式還不止一個，這就決定了資金時間價值的公式非常之多，學(xué)生不能單純的代入公式，而是需要理解公式，同時準(zhǔn)確解析題意，正確判斷題目涉及到的是哪種年金，以及題目要算的是該種年金的終值還是現(xiàn)值。例如：“企業(yè)計劃投資一個項目，需要投資500萬元，項目建設(shè)期3年，可以使用10年，每年產(chǎn)生收益90萬元，如果企業(yè)要求的投資報酬率9%，問該投資項目是否可行？”這道題的問題只是問項目是否可行，如果只是機(jī)械性的背誦所有的公式，學(xué)生在面對這道題目的時候根本無法判斷應(yīng)該使用哪個公式，即使確定使用哪個公式，但公式里的期數(shù)n這個要素也是需要進(jìn)一步判別的，這就是時間價值比較難以被學(xué)生理解接受的其中一個原因。

導(dǎo)致時間價值比較難的另一個原因在于傳統(tǒng)觀念的束縛。在學(xué)習(xí)資金時間價值的過程中，首先要打破以往的單利思想，比如本金1000元，年利率10%，那么一年的利息就是1000*10%=100元，依此類推五年的利息就是5*100=500元，針對同樣的條件，資金的時間價值則認(rèn)為在第二年不僅僅只是本金1000元在繼續(xù)產(chǎn)生利息，第一年產(chǎn)生的100元利息也在計息，并且往后的年份也是同樣的道理，不僅僅是本金可以產(chǎn)生利息，以往年度的利息也在計息，也就是通常所說的“利滾利”的情況，在資金時間價值里把這個思路叫做復(fù)利。所以，認(rèn)識資金時間價值的第一步就是樹立復(fù)利思想。

在復(fù)利的基礎(chǔ)上，時間價值之所以難懂的第三個原因在于現(xiàn)實生活中，可能每一年都有資金流的產(chǎn)生，不管是流入或者流出。比如說一個儲戶去銀行存錢，可能第一年存1萬元，第二年存3萬元，第三年存2萬元，這樣我們整個的計算考慮的就不止是一筆錢的復(fù)利問題了，但是筆者剛剛提及的例子雖然每年都有資金流的產(chǎn)生，但是沒有任何規(guī)律性，所以只能把這三筆錢單獨(dú)看成三個復(fù)利問題，然后相加計算其終值或者現(xiàn)值。由此，我們在復(fù)利和多筆資金流的基礎(chǔ)上衍生出了年金的概念，而時間價值的難點其實就是年金的難點。

二、資金時間價值難點的分析與解決

所謂年金，指的是在一定時期內(nèi)每隔相同的時間發(fā)生相同數(shù)額的系列收付款項，如利息、折舊、保險、金租金等。在年金的計算中，存在幾個特定的值，比如年金A，終值F，現(xiàn)值P，期數(shù)n，利率i，將這些值表現(xiàn)在現(xiàn)金流量圖上如下：

在現(xiàn)金流量圖里，時間軸上的每一個數(shù)字代表的是第n期的期末或者第n+1期初，比如圖中“2”代表第2期期末，或者第3期期初，最左邊的“0”代表現(xiàn)在這個時點，也就是現(xiàn)值“P”所在的位置，每一期等額同向的資金流就是年金“A”，而最后一期n位于時間軸的最右邊，表示第n期期末，同時也是終值“F”所在的時點位置。資金時間價值的很多難點問題通過畫圖都能迎刃而解。

前文曾提到的，年金被細(xì)分成普通年金，預(yù)付年金，遞延年金和永續(xù)年金四大類，這個分類的依據(jù)在于現(xiàn)金流產(chǎn)生的時點和期限。這四個類別的年金中，普通年金的現(xiàn)金流發(fā)生在每期期末，是最基本的年金，其他年金都是在普通年金的基礎(chǔ)上派生出來的，尤其是后續(xù)的遞延年金和永續(xù)年金，大多數(shù)教材中總結(jié)的公式都默認(rèn)這兩種年金的現(xiàn)金流產(chǎn)生在期末，所以公式都具有一定的局限性。在掌握最基礎(chǔ)的普通年金計算之后，預(yù)付年金跟普通年金的差別在于它的現(xiàn)金流產(chǎn)生在每期期初，所以兩者的計算只相差一期，最終的計算也只是多計息或者多貼現(xiàn)一期，即在普通年金的終值、現(xiàn)值公式的基礎(chǔ)上多乘（1+i）。永續(xù)年金由于其期數(shù)n趨于無窮大，所以不存在終值的計算，而其現(xiàn)值的計算最終通過數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)得到P=A/i，假若永續(xù)年金的現(xiàn)金流量產(chǎn)生在每期期初，只需要在此公式的基礎(chǔ)上多貼現(xiàn)一期即可。最終年金的難點就集中在了最為復(fù)雜的遞延年金上。

所謂的遞延年金，是指等額系列收付款項發(fā)生在第一期以后的年金，即前m期沒有現(xiàn)金流量產(chǎn)生，后n期才有等額系列收付款項發(fā)生，這里沒有收付款項的若干期稱為遞延期（m）。

由圖可以看出，遞延期位于時間軸的左邊，所以遞延年金終值F的計算是完全不受遞延期m影響的，因為終值F的位置在時間軸的右邊，也就是說計算終值F的過程就是把時間軸上所有的收付款向右計算，至于左邊的遞延期，不管m=1還是m=100，絲毫不會影響遞延年金的終值。那么，遞延年金的計算難點就集中在其現(xiàn)值P的計算上。

遞延年金現(xiàn)值P的計算就是將后n期的收付款向左計算到0時點，這就決定了計算現(xiàn)值P的過程一定要經(jīng)過遞延期m，這就加大了計算的難度。針對遞延年金現(xiàn)值P的計算，大體歸納了三種解決方法：

（1）先求后n期年金在m期初的現(xiàn)值，再將該值貼現(xiàn)至0時點，求出其現(xiàn)值P，也就是 “兩次折現(xiàn)法”，總結(jié)公式如下：P=A*（P/A， i ，n）*（P/F， i ，n）。

（2）將前m期遞延期補(bǔ)充上等額系列收付款，這樣原本的遞延年金就變成了一個m+n期的普通年金，然后用m+n期普通年金的現(xiàn)值減去人為補(bǔ)充的m期普通年金的現(xiàn)值，這種方法叫“補(bǔ)齊扣除法”，總結(jié)公式如下：P=A*（P/A， i ，m+n）-A*（P/A， i ，m）。

（3）先求后n期年金在m+n期期末的終值，再將該終值復(fù)利折現(xiàn)至0時點，求出其在第1期初的現(xiàn)值P，也就是“先終值后折現(xiàn)法”，總結(jié)公式如下：P=A*（F/A， i ，n）*（P/F， i ，m+n）。

舉個例子：“甲公司于年初投資一項目，預(yù)計投資期限為15年，但前5年為建設(shè)期，從第六年開始每年年末產(chǎn)生凈收益500萬，假定年收益率為10%，那么甲公司最初最多投資多少元才有利？”通過分析，這道題前5年沒有現(xiàn)金流量產(chǎn)生，從第6年開始每年年末產(chǎn)生500萬凈收益，這是一個標(biāo)準(zhǔn)的遞延年金，且可以直觀判斷出m+n=15，m=5，n=10，同時問題里的關(guān)鍵詞“最初”決定了這道題要求的現(xiàn)值P，那么套用上面論述的三種方法，答案如下：

（1）兩次折現(xiàn)法：

P=500*（P/A，10%，10）*（P/F，10%，5）=500*6.1446*0.6209=1907.59（萬元）

（2）補(bǔ)齊扣除法：

P=500*（P/A，10%，15）-500*（P/A，10%，5）=500*7.6061-500*3.7908=1907.65（萬元）

（3）先終值后折現(xiàn)法：

P=500*（F/A，10%，10）*（P/F，10%，15）=500*15.9370*0.2394=1907.66（萬元）

這么看來，遞延年金好像不是特別難，但是這三個方法有一個大的前提條件就是后續(xù)的資金流都是發(fā)生在每期期末，這才是標(biāo)準(zhǔn)的遞延年金，我們可以通過讀題，非常容易的判別出遞延期m是多少，后續(xù)年金期n是多少，那么運(yùn)用上述三個方法來解決遞延年金是完全沒有問題的。但是一旦我們嘗試把上述的題目改寫，將現(xiàn)金流量產(chǎn)生的時點改成每年年初，那么我們還可以說這道題的遞延期m=5，n=10嗎？顯然是不可以的，畢竟年初（1月1日）與年末（12月31日）之間相差了1整年的時間，但并不意味著我們上述的三種方法就無用武之地了。我們依然可以利用上述方法進(jìn)行計算，只是有一個前期準(zhǔn)備工作就是我們要學(xué)會改寫題目。筆者在前文介紹現(xiàn)金流量圖的時候解釋過圖上每個時點的含義，即“時間軸上的每一個數(shù)字代表的就是第n期的期末或者第n+1的期初”，通過這一層含義我們可以得知“第6年年初即為第5年年末“，這樣我們就再一次把題目還原成標(biāo)準(zhǔn)的遞延年金問題了，現(xiàn)金流依舊發(fā)生在年末，同時還要樹立一個思維就是“既然第5年年末才開始產(chǎn)生凈收益，也就意味著前4年是沒有產(chǎn)生凈收益的”，這個想法就決定了改寫后的題目遞延期m=4，年金期n=11，接下來就是將新確定好的遞延期m，年金期n代入上述三種方法中進(jìn)行運(yùn)算即可。

最后還有一個難點不得不提，就是關(guān)于期數(shù)n的判斷。除了在剛剛論述具體例題的情況下，筆者在描述期數(shù)時用到了“年”這個單位之外，其他地方均是以第n期來論述的。這也是資金時間價值學(xué)習(xí)過程中學(xué)生容易犯錯的地方，大多數(shù)人會默認(rèn)期數(shù)n的單位是年，但是遇到有些題目計息期短于一年的情況，如日、月、季度、半年等，依舊不會變通，還是直接代公式，這樣的做法是錯的，因為期數(shù)n已經(jīng)不是以“年”為單位了，但是利率i依舊是年利率，這樣的不一致會直接導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤，這種題目我們只需要將題目的年利率換算成對應(yīng)的日、月、季度、半年利率等就可以繼續(xù)代入公式進(jìn)行計算了。

綜上所述，資金時間價值的計算需要在掌握其基本計算原理的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用多種方法，同時不要刻板的記憶公式，而是在理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合現(xiàn)金流量圖，改寫句子等方法來更好的處理資金時間價值問題。（作者單位為廣州工商學(xué)院）