巧用樹狀圖解決分布列中的比賽得分問(wèn)題

離散型隨機(jī)變量及其分布列和分布列的期望與方差是山東省這些年的高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)這幾年的高考真題的分析，關(guān)于這個(gè)高考熱點(diǎn)題目的出題背景也在不斷創(chuàng)新，試題涉及生活中的各種變化問(wèn)題。高考中這個(gè)試題題目難度不大但是從相對(duì)難度上說(shuō)這個(gè)熱點(diǎn)考題主要難在各種情境的變化，難在學(xué)生對(duì)試題背景的理解，難在題目中事件之間的關(guān)系和事件變化過(guò)程的辨析。

在山東省的高考中離散型隨機(jī)變量及其分布列主要考點(diǎn)有：1、利用排列、組合知識(shí)求離散型隨機(jī)變量的分布列；運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。關(guān)聯(lián)考點(diǎn)排列、組合、概率。2、利用離散型隨機(jī)變量的分布列求數(shù)學(xué)期望、方差；利用二項(xiàng)分布的均值和方差公式計(jì)算均值與方差。關(guān)聯(lián)考點(diǎn)分布列、二項(xiàng)分布、均值方差公式。

學(xué)生在分析離散型隨機(jī)變量的試題時(shí)有以下步驟：1、分析試題背景，明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及每個(gè)值所表示的意義。2、利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量每個(gè)值的概率。3、按照規(guī)范形式寫出隨機(jī)變量的分布列，并用分布列的性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證。4、利用均值方差的公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望方差，并說(shuō)明其意義。

離散型隨機(jī)變量所涉及的試題背景很多很復(fù)雜，有比賽問(wèn)題、選人問(wèn)題、決策問(wèn)題等。在教學(xué)中我將其中一類以比賽得分為背景的問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析，主要是畫樹狀圖的方法分析題目的變化過(guò)程，牢牢把握這個(gè)方法，這類背景問(wèn)題成功就水到渠成了。

下面舉幾個(gè)具體的例子

典型例題1（山東省高考題）某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：①每位參加者計(jì)分器的初初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯(cuò)任一題減2分

②每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；

③每位參加者按問(wèn)題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束.

假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題A、B、C、D回答正確的概率依次為四分之三、二分之一、三分之一、四分之一，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.

（Ⅰ）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；

（Ⅱ）用X表示甲內(nèi)當(dāng)家本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

說(shuō)明：此題是高考題，學(xué)生的問(wèn)題在于沒(méi)有正確分析答題得分的過(guò)程，從而覺(jué)得此題很難，下面我用樹狀圖來(lái)進(jìn)行分析此題的過(guò)程。

解析：（1）設(shè)甲同學(xué)答對(duì)問(wèn)題ABCD分別為事件ABCD，甲同學(xué)答錯(cuò)ABCD分別為事件ABCD的對(duì)立事件，

所以甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪有五種情況，設(shè)甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪為事件E，那么事件E包括ABC，ABD，ACD，BCD，BD，由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，所求概率為四分之一

（2）X表示甲內(nèi)當(dāng)家本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，X可能取值為2、3、4

所求概率分別為八分之一，八分之三，二分之一

所以X的分布列也就可以求出，所以X的數(shù)學(xué)期望為八分之二十七

典型例題2 以“賞中華詩(shī)詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》，是央視科教頻道推出的一檔大型演播室文化益智節(jié)目，每季賽事共分為10場(chǎng)，每場(chǎng)分個(gè)人追逐賽與擂主爭(zhēng)霸賽兩部分，其中擂主爭(zhēng)霸賽在本場(chǎng)個(gè)人追逐賽的優(yōu)勝者與上一場(chǎng)的擂主之間進(jìn)行，一共備有9道搶答題，選手搶到并答對(duì)獲得1分，答錯(cuò)對(duì)方得1分，當(dāng)有一個(gè)選手累計(jì)得分達(dá)到5分時(shí)比賽結(jié)束，該選手就是本場(chǎng)的擂主.在某場(chǎng)比賽中，甲、乙兩人進(jìn)行擂主爭(zhēng)霸賽，設(shè)每個(gè)題目甲答對(duì)的概率都為四分之三，乙答對(duì)的概率都為十二分之五，每道題目都有人搶答，且每人搶到答題權(quán)的概率均為二分之一，各題答題情況互不影響.

（Ⅰ）求搶答一道題目，甲得1分的概率；

（Ⅱ）現(xiàn)在前5道已經(jīng)搶答完畢，甲得2分，乙得3分，在接下來(lái)的比賽中，設(shè)甲的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

解析：（Ⅰ）設(shè)“搶答一道題目，甲得1分”為事件A，則事件A發(fā)生的當(dāng)且僅當(dāng)甲搶到答題權(quán)后答對(duì)或乙搶到答題權(quán)后答錯(cuò)，所以概率為三分之二

（Ⅱ）在剩余的4道題中，每題甲得1分的概率為三分之二，每題乙得1分的概率為三分之一，也要注意前5道題中甲得2分，乙得3分，X表示在接下來(lái)的比賽中甲可以再得幾分，有可能到第7、第8、第9題結(jié)束比賽，而比賽結(jié)束時(shí)甲乙都有可能贏得比賽。

在接下來(lái)的比賽中，設(shè)甲的得分為X，則X的可能取值為0、1、2、3

所以每個(gè)取值的概率分別為九分之一，二十七分之四，二十七分之四，二十七分之十六

所以X的分布列也就可以求出，所以X的數(shù)學(xué)期望為九分之二十。

在解決離散型隨機(jī)變量的問(wèn)題時(shí)，主要是對(duì)題意的理解，只有充分理解題意才能找到題目的突破口，這幾道典型例題只是我的一點(diǎn)見(jiàn)解，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)指正，希望對(duì)大家有所幫助。

（作者單位：臨清市第二中學(xué)）