空間曲面的切平面及法線案例分析研究

設(shè)曲面在點(diǎn)處的法向量為，該點(diǎn)處的切平面方程為

；

曲面在該點(diǎn)的法線方程為

.

如果曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：，即，則在點(diǎn)處的法向量為.

例1 求曲面的平行于平面

的各切平面.

解析根據(jù)題意，有

，

設(shè)

，，，

從中可以解得，

，，，

將它們帶入方程，可得，故切點(diǎn)坐標(biāo)為.于是所求的切平面方程為

，

即.

例2 在橢球面

上什么樣的點(diǎn)，橢球面的法線與坐標(biāo)軸成等角？

解析根據(jù)題意，有

，

并且

（其中）

即，

將上式帶入橢球面方程，得.

于是，所求的點(diǎn)為

，，（其中）.

例3 證明錐面

的切平面經(jīng)過(guò)其頂點(diǎn).

解析因?yàn)?/p>

，.

于是，錐面在任一點(diǎn)的切平面方程為

，

化簡(jiǎn)整理得，

，

它顯然通過(guò)錐面的頂點(diǎn).

例4 求橢球面

在坐標(biāo)面上的射影.

解析先考慮橢球面在坐標(biāo)面上的射影.該射影即通過(guò)所給曲面上的每一點(diǎn)向坐標(biāo)面作垂線所得到的垂足的全體，它是坐標(biāo)面上的一個(gè)區(qū)域，這個(gè)區(qū)域的邊界由曲面上這樣的點(diǎn)的投影構(gòu)成：這一點(diǎn)向坐標(biāo)面所作的垂線在它的切面內(nèi)，即該點(diǎn)的法線與坐標(biāo)面平行.因該點(diǎn)的法向量為.因此該點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足

，

這些點(diǎn)的投影為

，

它即橢球面在坐標(biāo)面上射影的邊界.

同理，可以得到其在坐標(biāo)面、坐標(biāo)面的邊界方程為

，.

于是，橢球面在坐標(biāo)面上的射影為圓：，；在坐標(biāo)面上的射影為橢圓：，；在坐標(biāo)面上的射影為橢圓：，.

（作者單位：河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）