“圖形與幾何”領域運用轉化思想開展教學的策略

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調在數學學習中使學生能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。轉化思想作為一種重要的數學思想，在“圖形與幾何”領域教學中有著十分重要的學習價值，是分析問題與解決問題的一個重要的基本思想。本文以人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“多邊形的面積”這一單元教學為例，對“圖形與幾何”領域運用轉化思想談談筆者的想法。

一、化新為舊，確定教學的“起點”

某種意義上，新知識是舊知識發展和轉化的結果。“圖形與幾何”領域的平行四邊形、三角形和梯形等圖形面積公式的推導，是建立在學生認識圖形、學會長方形面積公式的教學方法之后安排的。它是小學階段直線型平面圖形面積計算的教學重點，也是體現轉化思想的教學難點。

就五年級小學生的數學思維而言，“多邊形的面積”教學應充分發揮“轉化”的學習價值，將新知識轉化為舊知識，在轉化中內化、在內化中生成。下面以“平行四邊形的面積”教學為例，談談化新為舊這種數學轉化方法在教學中的有效運用，為課堂教學起點的準確把握奠定基石。

（教師演示拉動平行四邊形教具）

師：平行四邊形“底不變，高改變”，則面積也隨之改變了。看來平行四邊形的面積與底和高有關，到底有什么關系，我們可以動手實驗，推導公式。

（教師出示實驗要求，并布置實驗）

（1）畫出一條高，把平行四邊形沿著高剪開，把剪開的兩部分拼成一個長方形。

（2）觀察拼成的長方形和原來的平行四邊形，你發現了什么？

（學生匯報）

生1：我發現拼成的長方形的面積和原來的平行四邊形面積相等。

生2：我發現拼成的長方形的長等于原來平行四邊形的底，長方形的寬等于原來平行四邊形的高。

（教師利用課件演示平行四邊形轉換成長方形的過程，并通過閃動突出長、寬和底、高的對應關系。）

師：通過上面的實驗，你認為平行四邊形的面積應該怎樣計算呢？理由是什么？

生3：我認為平行四邊形的面積應該等于底乘高。因為拼成的長方形的面積等于長乘寬，而拼成的長方形的長等于原來平行四邊形的底，長方形的寬等于原來平行四邊形的高，由此可以推出下面的關系。

長方形的面積=長×寬

平行四邊形的面積=底×高

在轉化完成后，教師應及時拋出一個問題：為什么要轉化成長方形的？學生經過思考后會說因為長方形的面積先前已經學會計算了。這時教師可以強調“將新學、生疏的知識轉化成已學、熟悉的知識，這是一種有效的解決方法”，自然而然，就將這種思想潛移默化地轉化到了學生的心中。

二、化難為易，突破教學的“難點”

“圖形與幾何”領域的教學，轉化思想固然重要，但是創新思維的培養也非常重要，這不僅關系到創造性地解決問題，更影響學生核心素養的發展。在“圖形與幾何”教學中，已知條件有時是以直白顯露的方式直接給出，有時是隱而不露間接表示出來；這時教師在教學中應啟發學生學會尋找隱蔽條件，從而為“圖形與幾何”問題的解決找齊條件性數據。

就五年級學生的學情而言，“圖形與幾何”領域的學習程度、深度、速度遜于“數與代數”領域的教學。一些有隱藏條件的“圖形與幾何”問題，如果沒有教師恰到好處的點撥，學生一下子是難以找到解決策略。下面以“梯形的面積”教學片段為例，談談化難為易這種數學轉化方法在教學中的高效使用，為課堂教學難點的突破創造基礎。

師：題目里的圖形你認識嗎？

生1：梯形。

生2：直角梯形。

師：是的，這是一個直角梯形。要求這個梯形花壇的面積，需要知道哪些條件？

生3：上底、下底和高。

師：這些條件都告訴你了嗎？

（經過小組討論后，學生知道題目中只提供籬笆的長和花壇的高，沒有告訴上底和下底的長度。）

師：（這時啟發、點撥學生）沒有告訴我們上底與下底，面積能求嗎？

（小組分析與討論，教師巡視）

生1：不能求，因為上底下底不知道。

生2：籬笆的長實際上是上底、下底和高的總長，又知道高的長度，這樣就能得到上底與下底的和，利用公式也能求：

師：是呀，有時我們需要靈活運用公式。

在轉化完成后，教師應再次拋出一個問題：“為什么不知道上底與下底也能計算梯形面積？”學生會說出我們已經把梯形上底與下底的和求出來，這樣不用挨個求出梯形的上底與下底；事實上，上底與下底也不好求。在題目完成后，教師這時可以提升學生的思維：“將有點難度的知識轉化成容易的知識，這是一種高效的數學方法?！?/p>

三、化繁為簡，凸顯教學的“重點”

在“圖形與幾何”領域，組合圖形的面積計算是重中之重。如何簡潔地找到組合圖形的“分割法”與“添補法”，是“圖形與幾何”領域知識教學的重點?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》對“圖形與幾何”領域提出了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題?！币虼?，在實際問題中用“化繁為簡”的數學轉化方法，有助于學生有效地掌握“割補法”。

就五年級的學生而言，“分割法”遠比“添補法”容易理解，因此在教學中，應使學生扎實有效地掌握“分割法”的方法。下面以“組合圖形的面積”教學片段為例，談談化繁為簡這種數學轉化方法在教學中的有效使用，為課堂教學重點的達成奠定良好的條件。

師：李老師家建了一間新房，要給一面墻刷漆，刷漆的面積有多大？（課件出示）

師：如果要計算刷漆的面積，需要知道什么條件？小組合作交流。

師：讓我們看看你們的想法能不能實現。請同學們仔細觀察圖上給出的數據，你有什么新的發現？三角形和正方形之間有聯系嗎？

（通過計算體驗方法）

師：你會列式計算嗎？就按你們自己的想法來試一試吧。

（通過交流優化方法）

生1：正方形面積+三角形的面積，5×5+5×2÷2=30（m2）。

生2：直角梯形的面積×2，（5+2+5）×（5÷2）÷2×2=30（m2）。

師：剛才同學們用兩種方法計算了這間房子側面墻的面積，你更喜歡哪一種？

生：第一種，圖形分得少，而且計算容易。

就組合圖形而言，如何化繁為簡轉化成已經學過的基本圖形，是培養學生空間觀念與幾何直觀的基礎。就學生發展而言，讓學生具備轉化的意識，是學好數學的重要學科核心素養。教師在教學中既要強調算法多樣化，更要凸顯算法優化。將生活中繁雜的圖形轉化成簡單的基本圖形計算，這對學生而言是一種實效的解決策略。

四、化曲為直，強化教學的“焦點”

化曲為直的數學轉化思想是小學數學曲面圖形面積學習的主要學習方法。它有助于學生學習思維向更高層次、更寬領域發展，形成一個積極主動、開放發散學習場?；鸀橹钡臄祵W思想為后學學習“圖形與幾何”領域圓的面積的計算作好鋪墊，為課堂教學的“焦點”的演繹奠定思想基礎。

就五年級數學教材文本解讀的角度而言，估計葉片的面積是讓學生感性地認識到：曲面圖形的面積可以近似地轉化成直面圖形的面積來計算，這種潛移默化的數學思想將為后續的圓面積的計算提供一種切實可行的解決策略。下面以“解決問題”教學片段為例，談談化曲為直這種數學轉化方法在教學中的恰當使用，為課堂教學焦點的聚焦提供便利。

師：這片葉子的形狀不規則，怎么計算面積呢？

生1：先在方格子上描出葉子的輪廓圖。

生2：方格紙上滿格的一共有18格，不是滿格的也有18格。

生3：估計這片葉子的面積在18～36cm2。

師：還有不同的方法嗎？

生：如果把不滿一格的都按半格計算，這片葉子的面積轉化成平行四邊形。

師：除了數格子，你還有別的方法估計這片葉子的面積？

生：我是將葉子的圖形近似轉化成平行四邊形S=ah=5×6=30（cm2）。

在轉化后，教師應將方法總結一下，應提出問題：“如何估計不規則圖形的面積”。學生不難發現“先通過數方格確定面積的范圍，再用轉化的方法估計……”這時教師可強調轉化這一思想方法：“將不規則圖形的面積轉化成規則圖形的面積，這是一種可行的解決方法?！?/p>

在“多邊形的面積”等“圖形與幾何”領域運用化新為舊、化難為易、化繁為簡、化曲為直等轉化策略，目的在于使學生經歷未知向已知、困難向容易、復雜向簡單、抽象向直觀的思維過程，在這個過程中學生“圖形與幾何”的基本知識、基本技能乃至基本數學思想與基本活動經驗得到有效的發展。

（作者單位：浙江省永嘉縣烏牛第二小學，浙江省永嘉縣甌北第一小學）

（責任編輯：楊強）