小學數學比較關系應用問題的教學探索

在小學數學應用問題中，“比較關系”是一類典型的應用問題。所謂比較，是基于兩個或兩個以上對象而產生。而比較關系應用問題，則指以某個對象為比較標準，利用其余比較對象與比較標準之間的關系來解決問題的應用問題，研究這類典型應用問題對小學數學教學有一定的指導作用。

一、小學比較關系應用問題知識體系簡析

小學階段比較關系應用問題有兩類，利用對象之間的相差數解決的“相差關系”應用問題和利用對象之間的倍或率解決的“倍比關系”應用問題，分別集中在不同階段學習：二年級學習相差關系，三年級學習倍數關系，六年級學習分率關系，分率關系應用問題是倍數關系應用問題的擴展，倍數關系和分率關系應用問題合稱為倍比關系應用問題。

相差關系應用問題，如：紅花6朵，黃花比紅花多3朵，黃花有幾朵？題中“黃花比紅花多3朵”是反映紅花與黃花數量的關系句，根據已知紅花數量、關

系句求解黃花數量。題中三要素可互為已知條件、要求問題，形成題組，如：

題1：紅花6朵，黃花比紅花多3朵，黃花幾朵？

題2：黃花9朵，黃花比紅花多3朵，紅花幾朵？

題3：紅花6朵，黃花9朵，紅花比黃花多幾朵？

倍比關系應用問題，如：紅花有6朵，黃花比紅花多（或黃花是紅花的1.5倍），黃花有幾朵？同理，題中三要素互為已知條件、要求問題，亦形成相關題組。

相差關系和倍比關系兩類應用問題有共同點：第一，題目結構相同，都有比較量、標準量、比較關系句三要素；第二，兩量比較關系因比較標準不同而關系表述的語句相應也不同。在相差關系應用問題中，如當“黃花9朵，紅花6朵”時，若以紅花數量為比較標準，則表述為“黃花比紅花多3朵”；若以黃花數量為比較標準，則應表述為“紅花比黃花少3朵”。 在倍比關系應用問題中，“黃花9朵，紅花6朵”，若以紅花數量為比較標準，則黃花比紅花多，若以黃花數量為比較標準，則紅花比黃花少（見下圖）。

而兩類應用問題的不同之處為：相差關系的比較是基于一一對應思想，本質是比較數量多與少，比較結果是絕對值，運用加減法數學模型解決問題；倍比關系的比較是反映兩數量比的關系，比較結果是相對值，運用乘除法數學模型解決問題。

二、現存學習情況和學習障礙現狀

由于學生在生活中經常接觸比較數量大與小、多與少、物品長與短等相差關系，因此學生在解決相差關系應用問題正確率較高。但學生在解決倍比關系應用問題時存在較大困惑，以六年級分率應用問題為例嘗試探討學習中的障礙。

題目1：男生12人，女生8人，男生人數比女生多幾分之幾？

學生錯例1：12-8=4。

學生錯例2：12÷8。

學生錯例2：（12-8）÷12。

題目1中，訪談能正確列式的學生，其記錄如下：

訪談記錄1

訪談者：你的列式（12-8）÷8 是正確的，說說你是怎么想的？

學生：因為題目要求男生人數比女生多幾分之幾，所以用12-8求出男生比女生相差的人數，然后再用相差人數÷單位“1”（女生人數）就行了。

訪談者：求男生人數比女生多幾分之幾為什么用除法計算？

學生思考片刻：老師教的。

訪談記錄2：

訪談者：求男生人數比女生少幾分之幾為什么用除法計算？

學生：要用“多的人數÷女生人數”就是男生人數比女生人數多幾分之幾。

訪談者：為什么用除法計算就能解決問題？

學生沉默片刻：就用“相差人數÷單位‘1’”可以解決問題。

題目2：男生人數比女生少1/2，則女生比男生多幾分之幾？

學生錯例：男生人數比女生少1/2，則女生比男生多1/2。

題目2中，訪談回答錯誤的學生，其記錄如下：

訪談者：假設男生有3人，女生有6人。我們怎么算男生人數比女QGUNI8f2swMlnelq/26u6zHX4Sp1UG+LwXPKcbrqKQQ=生少幾分之幾？

學生：（6-3）÷6=3÷6=1/2。

訪談者：那么我們算一算女生人數比男生多幾分之幾

學生：（6-3）÷6=3÷6=1/2。

訪談者：為什么還是？

學生：男生3人，女生6人，他們相差了3人，所以是。

三、障礙成因分析

（一）相差關系理解容易，倍比關系理解難

題目1反映出：有的學生直接利用求相差數的方法求分率，有的學生不理解“求男生人數比女生多幾分之幾”就是“求男女生相差人數占女生人數的幾分之幾”，而僅是套用模型解決問題。為什么學生容易理解相差關系應用問題，而解決分率關系應用問題取不盡如人意？

相差關系的比較結果是“具體量”，是一個絕對值，即便是學齡前兒童，在他們的生活、交往中會積累大量的有關相差關系的活動經驗，因此比較容易理解。倍比關系的比較結果是“比率”，是一個相對值，盡管三年級初步接觸分率，但都是以具體物品、平面圖形、長度單位等形象直觀為基礎學習分率，學生對分率這個相對值接觸少，一直到五年級下學期才正式接觸分率，六年級完整學習分率、比的相關知識，在觀念上未能完全認同，從而導致學生難以理解分率關系應用問題。

（二）忽視比較標準的重要性

題目2中像這樣解答錯誤的比例較高，從學生的訪談中可知，當求相差分率時，學生解決問題的思維點落在“相差數”上，沒有落在“相差數占比較標準的幾分之幾”上。究其原因，主要是由于學生對比較關系理解不全面而造成的。

兩個數量比較，先有比較的標準，然后有比較量、比較結果。相差關系中兩量比較關系句“黃花比紅花多3朵”，亦可表述為“紅花比黃花少3朵”，根據比較標準不同，采用“…比…多”或“…比…少”的不同表述，但由于“相差關系”比較結果是絕對值，所以不論以哪個對象為標準，其比較結果是相同的，而由于認知特點，學生更多地關注“無論不同表述其數值都是相差2朵”的直觀表象上，因而把相差關系的理解壓縮為：黃花和紅花相差2朵。筆者聆聽不同年級學生表述兩個數量相差關系時，許多學生都表述為：誰和誰相差多少，而教師都沒有及時糾正學生的說法，說明教師本身也未意識到比較標準的重要性。當學生在五、六年級初次學習分率關系時，比較容易把“誰和誰相差多少”的舊經驗簡單地遷移到求相差分率的新知識上，認為兩個數量的相差分率都應該是一樣的。相差關系的不同表述、倍率關系的不同比較結果都是基于不同比較的標準造成的，而學生從學習“相差關系”的開始就沒有得到全面的理解，教師的教學負有不可推卸的責任。

（三）從“倍”到“分率”的學習時間跨度太長

我們前面提到分率關系應用問題是倍數關系應用問題的擴展，以人教版教材為例，我們列表說明倍數應用問題、分率應用問題的學習年段。

從學習倍數關系的應用問題到學習分率關系的應用問題，中間間隔約三年，且四五年級教材例題、練習題極少出現關于倍數關系的應用問題，除五年級下學期學習求一個數是另一個數的幾分之幾外，到六年級全面學習分率關系的五種類型應用問題，無論是知識學習時間跨度太大，還是知識基礎累積上都較少，這些原因使得分率關系更顯得抽象，不利于從倍數關系應用問題橫向遷移學習分率關系應用問題。

四、教學策略

（一）從“倍數關系”到“分率關系”的類比遷移

倍、分率、百分數、比等概念本質同樣是“比率”，在小學階段，一般當比率大于1時，習慣說比較量是標準量的的幾倍（用整數或小數表示），當比率小于1時，習慣說比較量是標準量的的幾分之幾。由此，教學可以由倍數關系應用問題通過類比、遷移學習分率關系應用問題，其教學策略可如下圖：

（二）從幾何直觀到數學模型的轉化

分率是一個抽象概念，借助幾何直觀能幫助學生理解概念，借助幾何直觀讓學生充分理解分率應用問題數量關系，然后及時幫助學生抽象數學模型，實現幾何直觀到數學模型的轉化。

如：鵝7只，鴨10只，鵝的只數是鴨的幾分之幾？

通過閱讀與理解，讓學生認識到“求鵝只數是鴨的幾分之幾”就是“求7是10的幾分之幾”，將生活問題抽象為數學問題。然后借助線段圖的幾何直觀理解：以鵝為比較標準，10看做一個整體，平均分成10份，7就是這個整體的■，解答過程是7÷10=■，教師與學生一邊分析一邊畫線段圖，過程如下圖。

接著，提供“求一個數是另一個數的幾分之幾”的不同情境的數學問題，充分讓學生在畫線段圖中理解解決此類數學問題的方法，建立數學模型：“求一個數是另一個數的幾分之幾”與“求一個數是另一個數的幾倍”都是用“比較量÷標準量=倍率”求解，實現“幾何直觀”向“數學模型”的轉化。

幾何直觀既有助于幫助學生理解數學模型，也有利于學生溝通新舊知識之間的聯系。在一定的學習時間積累后，有必要通過變式題進一步鞏固數學模型。如將上題變式為：鵝7只，鴨10只，鵝的只數比鴨少的幾分之幾？通過線段圖（如下圖）理解與分析，讓學生認識到“求鵝比鴨少幾分之幾”就是“求鴨鵝相差只數是鴨的幾分之幾”，能運用原有的數學模型“比較量÷標準量=分率”解決新的數學問題。

（三）對比相差關系與倍比關系的異同

隨著學習的深入，溝通新舊知識之間的聯系與區別能促使學生更精細地識別數學模型，建構知識網絡。鑒于相差關系和倍比關系的相似性和易混淆的特點，將兩類關系進行異同對比顯得非常迫切與必要。兩類關系可以設計成題組呈現，題組的情境、數據應簡潔，目的是透過題組抓住知識本質。

如下面的題組：

（1）5米比3米多幾米？

（2）3米比5米少幾米？

（3）5米比3米多幾分之幾

（4）3米比5米少幾分之幾？

先左右題組對比，設問：都是求5米比3米多（少）的情況，為什么解決方法不同？從而概括：左題是求相差部分的具體數量，右題是求相差部分是比較標準的幾分之幾；再進行上下題組對比，可以先對比左邊兩題，設問：算式相同、結果相同，為什么表述不同？從而概括：比較標準不同，表述方式也不同，再對比右邊兩題，從而突出比較標準的作用。整理如右表。

最后指出：無論是“相差關系”還是“倍比關系”，都是兩個數量在比較，其數學問題結構都是相同的，都具有比較量、標準量、比較關系句三要素。

比較關系數學問題是小學階段應用問題的教學重點之一，學生在“絕對量”上的經驗豐富，而 “相對量”學習過程比較抽象，在這樣的現狀下，我們要抓住問題的本質原因，有針對性地通過新舊知的橫向、縱向對比，利用小學生的認知特點，以數形結合為抓手，逐步加深對“相對值”的理解，實現知識上質的飛躍。

（作者單位：廣東省廣州市越秀區東風西路小學）

（責任編輯：楊強）