實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)的幾個(gè)比較教學(xué)點(diǎn)分析

馬守國(guó)++文曉霞

摘 要：根據(jù)實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)之間的關(guān)系，能總結(jié)出復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些學(xué)習(xí)要點(diǎn)。化“復(fù)”為“實(shí)”，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)實(shí)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的理解，還理清了兩者之間的關(guān)系，弱化了復(fù)變函數(shù)理論的抽象性，取得更好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：實(shí)函數(shù)；復(fù)函數(shù)；解析；積分；級(jí)數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G712；G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2017）34-0077-01

復(fù)變函數(shù)是一門(mén)古老而富有生命力的學(xué)科。它不僅是實(shí)變函數(shù)微積分的理論推廣，而且作為一種強(qiáng)有力的工具， 已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于振動(dòng)力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、理論物理以及自動(dòng)控制理論等眾多領(lǐng)域，有很多復(fù)雜的計(jì)算就是以復(fù)變函數(shù)為工具來(lái)解決的。

一、理清實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的關(guān)系

在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：不少學(xué)生在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的過(guò)程中，對(duì)于實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的關(guān)系始終難以理清，而這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系不僅是掌握好復(fù)變函數(shù)必須解決的問(wèn)題，也是學(xué)好復(fù)變函數(shù)的一種有效的方法。教師可以利用兩者之間的關(guān)系將學(xué)生在高等數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)域內(nèi)的一些理論，通過(guò)“演變”推廣到復(fù)數(shù)域中，化“復(fù)”為“實(shí)”，用已知的方法和理論解決未知的問(wèn)題。如此一來(lái)，不僅是對(duì)實(shí)函數(shù)理論的夯實(shí)，還有利于學(xué)生易于接受相應(yīng)的復(fù)函數(shù)理論，弱化其抽象性。同時(shí)，能鍛煉學(xué)生的邏輯思維，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。通過(guò)學(xué)習(xí)不難發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)域內(nèi)的很多理論與實(shí)數(shù)域內(nèi)的理論之間有著極其密切的關(guān)系，可以通俗地總結(jié)為“一”與“二”的關(guān)系：一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)兩個(gè)實(shí)數(shù)（實(shí)部和虛部），一個(gè)復(fù)函數(shù)對(duì)應(yīng)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)，一個(gè)復(fù)積分對(duì)應(yīng)兩個(gè)實(shí)曲線(xiàn)積分，一個(gè)復(fù)數(shù)列的收斂問(wèn)題等價(jià)于兩個(gè)實(shí)數(shù)列的收斂問(wèn)題，一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂等價(jià)于兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂，等等。

二、復(fù)函數(shù)學(xué)習(xí)中值得注意的問(wèn)題

在復(fù)函數(shù)學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

（1）實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)與復(fù)函數(shù)解析的聯(lián)系與區(qū)別。高等數(shù)學(xué)中關(guān)于實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、積分占據(jù)了該課程的很大篇幅，學(xué)生的掌握也相對(duì)牢固。而復(fù)變函數(shù)中初等函數(shù)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等在自身的解析域內(nèi)其導(dǎo)函數(shù)與實(shí)函數(shù)正好是一致的，因此，可以利用這一點(diǎn)來(lái)記憶復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果。但值得注意的是，解析的概念是實(shí)函數(shù)所沒(méi)有的，這一點(diǎn)又必須與可導(dǎo)加以區(qū)別，尤其是點(diǎn)和區(qū)域兩種情況下可導(dǎo)與解析的關(guān)系必須弄清楚。

（2）兩個(gè)數(shù)域內(nèi)初等函數(shù)的關(guān)系問(wèn)題。由于復(fù)函數(shù)是實(shí)函數(shù)的拓廣，因此在函數(shù)定義上也相應(yīng)地進(jìn)行了拓廣，不僅保持了實(shí)變初等函數(shù)基本的性質(zhì)，也包含了部分不同的特殊性質(zhì)。例如，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，ex可以看作是以e 為底的指數(shù)函數(shù)，同樣可以看作是e 的 x 次冪。但在復(fù)變函數(shù)中，就不能這樣去理解，ez僅僅表示的是復(fù)變指數(shù)函數(shù)的一個(gè)符號(hào)，當(dāng)z=x為實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)指數(shù)函數(shù)就是實(shí)數(shù)域內(nèi)的指數(shù)函數(shù)了。同樣，可以理解其反函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)lnz及其主值lnz，lnz為多值函數(shù)，這是指數(shù)函數(shù)ez周期性的體現(xiàn)。當(dāng)然，復(fù)函數(shù)還有許多實(shí)函數(shù)所不具有的性質(zhì)，如指數(shù)函數(shù)的周期性，對(duì)數(shù)函數(shù)lnz的多值性，三角函數(shù)sinz，cosz的有界性等，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中必須加以重視。

（3）利用實(shí)積分求解復(fù)積分問(wèn)題的方法。復(fù)積分既可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于曲線(xiàn)參數(shù)的定積分，也可以轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)積分，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中必須加強(qiáng)學(xué)生關(guān)于積分曲線(xiàn)參數(shù)方程的確定，這仍然是實(shí)數(shù)域內(nèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)域內(nèi)的問(wèn)題。

（4）利用實(shí)級(jí)數(shù)的結(jié)論解決復(fù)級(jí)數(shù)的收斂與展開(kāi)。對(duì)于復(fù)級(jí)數(shù)的收斂半徑與泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)，兩個(gè)數(shù)域級(jí)數(shù)的收斂域幾乎是相同的，只是實(shí)數(shù)域內(nèi)的級(jí)數(shù)收斂域是關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)區(qū)間，而復(fù)數(shù)域內(nèi)的級(jí)數(shù)收斂域是關(guān)于中心的開(kāi)圓，這是實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)本身的特性所造成的。這部分內(nèi)容學(xué)生的疑惑大多產(chǎn)生在函數(shù)在圓環(huán)域上的洛朗展開(kāi)式上。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，以下兩個(gè)問(wèn)題需要引起注意：一是圓環(huán)域的中心決定洛朗級(jí)數(shù)上的“長(zhǎng)相”。圓環(huán)域的中心z0就是洛朗級(jí)數(shù)的中心，這個(gè)中心決定之后所展開(kāi)的洛朗級(jí)數(shù)形式，很多同學(xué)沒(méi)弄清楚這一點(diǎn)，往往就沒(méi)有了解題的方向。二是洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)過(guò)程會(huì)受到所處圓環(huán)域的條件限制。同一個(gè)函數(shù)在不同的圓環(huán)域內(nèi)因?yàn)闂l件不同，展開(kāi)的洛朗級(jí)數(shù)不同，因此，在展開(kāi)時(shí)需要格外注意圓環(huán)域的條件問(wèn)題。一般都是利用一些已知的結(jié)果進(jìn)行間接展開(kāi)，這種方法比較簡(jiǎn)單。

（5）留數(shù)法求特定模式實(shí)積分。留數(shù)概念雖然是基于復(fù)函數(shù)給出的，但是應(yīng)用變量代換或者滿(mǎn)足一定條件又可以用來(lái)解決一些特定形式的實(shí)定積分或廣義積分，這無(wú)疑又使得實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)之間的關(guān)系更加緊密。

三、結(jié)束語(yǔ)

復(fù)變函數(shù)與積分變換是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼相關(guān)專(zhuān)業(yè)課的必備工具，學(xué)好這門(mén)功課對(duì)學(xué)生的發(fā)展尤為重要。教師要注意從以上幾個(gè)方面，把有關(guān)實(shí)函數(shù)的連續(xù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等理論延續(xù)拓廣到復(fù)變函數(shù)中，從而取得更好的教學(xué)效果，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

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