高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)探究

王正衛(wèi)

摘 要： 文章以定積分概念教學(xué)為例，從明確預(yù)備知識(shí)的重要性、循序漸進(jìn)充分挖掘?qū)W生的潛力、抓住概念的本質(zhì)分解難點(diǎn)、總結(jié)應(yīng)用鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面，研究高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)策略，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；定積分；教學(xué)活動(dòng)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2017）34-0019-01

數(shù)學(xué)概念是高等數(shù)學(xué)的基石，沒有它，便無法構(gòu)筑高等數(shù)學(xué)的理論體系。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師有時(shí)省略概念的引入，直接下定義，這樣會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解停留在表面，一知半解，影響后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。本文以定積分概念教學(xué)為例，研究高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)策略。

一、明確預(yù)備知識(shí)的重要性

定積分是高等數(shù)學(xué)的重要概念之一，概念本身體現(xiàn)了微積分的基本思想極限思想。教師若引入得當(dāng)，預(yù)備知識(shí)準(zhǔn)備充分，可以高效地幫助學(xué)生建立新的認(rèn)知體系。定積分的理論基礎(chǔ)是極限，包括極限的定義、極限的唯一性等。定積分概念的本質(zhì)就是Riemann和的極限，即 f（x）dx= f（ξi）Δxi。下面，比較兩者的定義。定義1 （函數(shù)極限的ε-δ定義） ：設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U0（x0，δ'）內(nèi)有定義，Α為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0存在正數(shù)δ（<δ'），使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)有|f（x）-Α|<ε，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0時(shí)以Α為極限，記作 f（x）=Α。定義2 （定積分的定義）：設(shè)f是定義在[a，b]上的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在某一正數(shù)δ，使得對(duì)[a，b]的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集{ξi}，只要‖T‖<δ，就有 f（ξi）Δxi-J<ε，則稱函數(shù)f在區(qū)間[a，b]上可積或黎曼可積，數(shù)J稱為f在[a，b]上的定積分或黎曼積分，記作J= f（x）dx。可以看到，定積分定義與極限ε-δ的定義有很大相似性。在授課過程中，教師要注意新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與之相關(guān)的舊知識(shí)，減少學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的困難。

二、循序漸進(jìn)，充分挖掘?qū)W生的潛力

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要重視概念引入教學(xué)，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生的認(rèn)知能力。下面，介紹兩個(gè)經(jīng)典的引例：一是曲邊梯形面積問題，另一個(gè)是變速運(yùn)動(dòng)路程。第一個(gè)引例，教師可以遵循“以直代曲”“有限逼近無限”的極限思想，教學(xué)時(shí)主要采用以下四個(gè)步驟。1）分割。在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個(gè)分點(diǎn)，它們依次為a=x0

三、抓住概念的本質(zhì)，分解難點(diǎn)

定積分概念的建立，重點(diǎn)在于極限思想的應(yīng)用。首先，通過求和的極限的四個(gè)步驟，我們發(fā)現(xiàn)不同的問題采用同樣的求解方法和過程，最終得到相同的極限表示，這個(gè)極限定義為定積分。其次，有限分割的和只能求近似值，而無限分割的和的極限能求得精確值。這也是學(xué)習(xí)定積分概念的價(jià)值所在，能為后續(xù)定積分的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。對(duì)比導(dǎo)數(shù)定義的建立，也是極限思想的應(yīng)用，其思想方法上是一致的。要特別強(qiáng)調(diào)，對(duì)于‖T‖→0所表示的極限過程，不能隨便改成n→∞，但不同的分割卻可以表示相同的意義。這一點(diǎn)，教師可通過舉例予以說明。

四、總結(jié)應(yīng)用，鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)

及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，是理解和鞏固所學(xué)概念的重要環(huán)節(jié)。“分割、近似、求和、取極限”的數(shù)學(xué)解題步驟，不僅能讓學(xué)生鞏固理論知識(shí)，而且能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，在理論聯(lián)系實(shí)際的過程中體會(huì)定積分的應(yīng)用價(jià)值。在高等教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去解決一些更為抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生剛建立的概念與已有的知識(shí)不斷融合，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

五、結(jié)束語

總之，概念教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分。教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況有針對(duì)性地備課，認(rèn)真研究高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)策略，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]毛京中. 高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一些思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（12）.

[2]陳國玉，肖金艷.淺談定積分概念教學(xué)的設(shè)計(jì)[J].巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（15）.