淺談滬科教材中一道課后練習題的啟發

【摘 要】三角形是平面幾何中最基本的圖形，很多的平面幾何問題都會轉化到三角形問題來解決，而內角平分線是三角形中一個重要的線段，其性質定理是平面幾何中重要而又基本的定理，在解題中有著廣泛的應用。

【關鍵詞】三角形 內角平分線 性質定理 角平分線定理 證明 對應邊成比例

在教學過程中，我發現教材的練習題上有一道關于三角形內角平分線的題目很有意思，于是就查詢了一下資料，發現原來這是一個定理，并且在教材的后續習題和同步練習冊上出現了兩道可以用這個定理來解決的題目，雖然這兩道題也可以用其他的方法來求解，但相比較而言，用這個定理就顯得簡單的太多。本篇文章主要目的通過課本試題的深入研究，初步了解試題的本質，拓展學生的知識面，激發學生自主學習數學的興趣。同時加深對教材理解，了解教材編寫者的教學目的。

一、教材試題呈現

1.學生解題反饋

這個定理的證明方法多達十幾種，這里我就列舉出三種比較普遍的證明方法，這三種證明方法的思路值得我們借鑒于其他類似的線段比例式的證明上。對于初三學生來說應該是比較容易想到的方法。通過兩屆學生的比較，班級中一部分學生能想到前兩種方法，而第三種方法對于學生來說反而不容易想到，只有極個別特別優秀的學生在教師點撥下才能想到。通過這個例題兩屆學生近200名初三學生的檢測，說明學生在學習相似證明時對于三角形相似有一定構造能力并能初步掌握輔助線的做法，但是卻忽略了角平分線最基本的性質應用。同時對于等面積法的運用還是不習慣，不熟練，說明教師的教學中重視的輔助線做法的訓練，卻忽略知識點的融合及聯想能力的培養。從而在解題中思維不能夠發散，知識點較單一，不利于中考綜合性習題的考查。

2.角形內角平分線逆定理的證明

如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。

已知：如圖4，在△ABC中，D是邊BC上一點，且有

求證：AD是∠BAC的平分線

證明：過點C作CH//AD交BA的延長線于D點

，

即AD是∠BAC的平分線

通過證明我們知道三角形內角平分線定理的逆定理也是成立的，其證明的方法還有多種，在此就不一一寫出了。

同樣我在班級讓此題留作課后習題，學生也大都以構圖轉化為主要證明思路。靈活通過邊的轉移來解決問題。

3.定理知識應用

下面我們來看兩道教材練習題。這兩道習題看看學生又是怎么處理的吶！

（1）.（同步練習冊第79頁第11題）

如圖5，已知：AD為△ABC的角平分線，DE//AB交AC于點E，

如果，則

解法1、 ，

解法2、

∽

由于學生大部分不會運用該定理解題，只有一部分成績中等以上的學生能解題，由于大部分學生基礎較差，學過的習題并不能學以致用，一部分學生不放心把定理又重新證明了一邊，的確在大型考試中，書本上沒有出現的定理是一定要證明。但是卻也反應大部分學生學習較呆板，靈活度不夠，對于新知識的遷移運用能力較弱。這也為以后的教學提供了方向，加強學生新知識的吸收消化能力。

二、教材試題對教學啟示

同時更大的感受是我們農村教師專業研究的問題。也許對于一些專業比較強的老師會認為這是很平常的一個定理，但是好多教師對于教材只做初步了解，不清楚教材中試題的出處及安排原因，通過這個課后習題的啟發，我認真看了一下我們手中貌似熟悉的教材，許多地方都能感受到教材編寫者的用心良苦，許多地方教材編寫者都加入了一些對以后數學學習有用的預設，例如八年級教材中的一元二次方程根的求法，對于九年級學生來說在相似形中的黃金比例有很大聯系，甚至在高等數學斐波那契數列的特征方程的求解也有聯系。如果我們能認真去挖掘教材，鉆研教材，我相信一定會有很多意想不到的收獲，對于我們農村教師自身專業水平的提升更是一種無形幫助！