初探線段中點在初中數學中的應用

摘要：本文對中點在線段中計算，三角形三邊的關系求解，三角形全等的證明，坐標軸中的應用等方面進行探究。

關鍵詞：中點、應用

一、中點在線段中的計算

例1：如圖C是線段AB的中點，D是線段AC的中點，已知圖中所有線段的長度之和為26cm，求線段AC的長度。

解：∵點C為線段AB的中點，∴AC=BC，AB=2AC，∵點D為線段AC的中點，∴AD=DC，AC=2AD，∴AB=4AD

設：AD=xcm則DC=xcm，AC=2xcm，AB=4xcm，BD=3xcm，BC=2xcm，x+x+2x+2x+3x+4x=26，13x=26，x=2，∴AC=4cm。

例2：點C在線段AB上，AC=8，CB=6，點M、N分別是AC、BC、的中點。①求線段MN的長；②若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB=a cm，點M、N分別是AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？并說明理由。③若C在線段AB的延長線上，且滿足AC-CB=b cm，M、N分別為AC、BC的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由。

解：（1）∵點M、N為線段AC、BC的中點，∴MC= AC，CN= CB，∴MC+CN=MN= （AC+CB）。∵AC=8、CB=6，∴MN=7。

（2） ∵點M、N為線段AC、BC的中點，∴MC= AC，CN= CB，∴MC+CN=MN= （AC+CB）。∵AC+CB=a，∴MN= a。

（3） ∵點M、N為線段AC、BC的中點。∴MC= AC，CN= CB。∵MN=MC-NC= （AC-BC），AC-BC=b

∴MN= b。

二、中點在三角形三邊關求解中的應用

例：在已知⊿ABC中：AB=6，AC=4，D是BC的中點求：AD的取值范圍？

解：延長AD到點F，使DF=AD，∵點D為線段BC的中點，∴BD=DC。在⊿ADC 與⊿FDB中：AD=DF，∠ADC=∠FDB，CD=BD，∴⊿ACD≌⊿FBD （SAS），∴BF=AC。∵AB-BF

三、中點在圓中的應用

例：⊙O的半徑是 5 cm，弦AB=8 cm，求圓心O到弦AB的距離。

解：過點O作OC⊥AB于點C，連接OB?！逴C⊥AB，O為圓心，∴AC=BC= AB?！逜B=8，∴BC=4。在RT△OBC中： ， 。

四、中點在直角坐標系中的應用

如圖：在直角坐標系中，點B（a，0），點C（0，a），點A在第一象限內，連接AB，過點A作AD⊥AB交Y軸于D，在射線AD上截取AE=AB，連接CE，F是CE的中點，連接AF，OA，當點A在第一象限內運動（AD不過點C）時，證明：∠OAF的大小不變。

證明： 延長AF到點H，使HF=AF，連接HC，OH

∵ 點F為CE的中點，∴ CF=FE。在⊿CFH 與 ⊿EFA中：CF=EF、∠CFH=∠EFA、HF=AF，∴ ⊿CFH≌⊿EFA （SAS）、CH=EA、∠CHF=∠EAF?！摺螩HF=∠EAF，∴HC∥AD，∴∠HCD=∠CDA?！逜D⊥AB，∴∠DAB= ?！摺螦DO+∠DOB+∠OBA+∠BAD= ，∠DOA= ，∴∠ADO+∠OBA= ?！摺螦DO+∠CDA= ，∴∠CDA=∠OBA?！摺螲CD=∠CDA∴∠HCD=∠OBA，∵CH=EA，AE=AB，∴AB=CH。

在⊿CHO 與 ⊿BAO中：CH =AB、∠HCO=∠OBA、OC=OB。∴⊿CHO≌⊿BAO（SAS）、HO=OA、∠HOC=∠AOB?！摺螦OC+∠AOB= ，∴∠AOC+∠HOC = ，∴∠AOH= ，∴⊿AHO 是等腰直角三角形，∴∠OAF= 不變。

了解了線段的中點的倍長中線，構造垂直平分線，聯想“垂徑定理”等用法對中點的學習起到融會貫通，事半功倍的效果。

參考文獻：

人民教育出版社，課程教材研究所 中學數學課程教材研究開發中心，《數學》（七年級 上冊）[M]人民教育出版社出版，2012