轉化思想在數學解題中的應用

張瀟依

數學問題的形式千變萬化，結構錯綜復雜，特別是一些難度較大的綜合題。我們在解決這些問題時，往往不是直接解決原問題，思考的著重點就是把需要解決的問題轉化為能解決的問題或容易解決的問題。也就是說，在求解不易直接或正面找到解題途徑的問題時，我們往往轉化問題的形式，最終把它轉化成一個或若干個熟知的或已能解決的問題，這就是數學上解決問題的一種基本思想——轉化思想。

一、轉化思想的意義

數學問題的解決過程實質上是一種思維活動的轉化過程。所謂轉化，就是在分析解決問題時，把那些待解決或難解決的問題，通過有意識的知識遷移——“轉化”，把未知解的問題轉化為已知解的問題解決，把不熟悉、不規范的、復雜的問題轉化為熟悉、規范、簡單的問題，從而獲得原問題的解。

利用轉化法解決問題的過程可以簡單、直觀地用以下框圖表示：

轉化法是一種分析問題、解決問題的基本思想方法。將待求的A問題轉換為相對于求解者來說已能解決的B問題，問題的轉換是轉化的關鍵。如學完一元一次方程、因式分解等知識后，學習一元二次方程我們就通過因式分解等方法，將它轉化為一元一次方程來解決。又如在平面幾何中我們在學習了三角形的內角和定理后，對n邊形的內角和，也是通過分解、拼合為若干個三角形來加以解決的。

二、轉化的原則

轉化思想具有靈活性和多樣性的特點，所以我們在運用轉化思想的方法去解決問題時，沒有一個統一的模式。它可以在數與數、數與形、形與形之間進行轉化；它可以在宏觀上進行轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的轉化；它可以在符號系統內部實施轉化。我們經常在函數、方程、不等式之間進行轉化，遇到問題，通過轉化，化難為易，化繁為簡，化抽象為具體，從而簡化解題過程。比如從無理式到有理式、從分式到整式的轉化等。轉化不能盲目進行，為了實施有效轉化，我認為一般應遵循如下原則。

1.熟悉化原則

熟悉化就是把我們感到陌生的問題通過變形轉化為比較熟悉的問題，轉化的方向朝著熟悉化，把生僻的問題轉化為熟悉的問題。這里的熟悉指的是“已知”或已掌握的“知識”和“方法”。“新”東西化作原有的“舊”東西，從而使我們能夠充分利用已有的知識和經驗使問題得到解決。

例：解方程

分析：這是一個以x為未知數的一元三次方程，但是我們對三次方程的解法是比較陌生的，而對一次或二次方程的解法則比較熟悉，因此，我們理所當然的希望能把它轉化為一次或二次方程來處理。注意到原方程的特點，可以看出：若把x看作“已知數”，而把 看作“未知數”，則原方程便可看作關于 的“二次方程”，我們就 解出原方程，也許能得到關于x的一次或二次方程，從而可能將原問題轉化為熟悉的問題而得到解決。

解：令 ，則原方程可轉化為

即

解這個關于y的二次方程得：

或 即 或

所以 或

2.簡單化原則

簡單化就是把比較復雜的問題轉化為比較簡單的問題，把比較復雜的形式轉化為比較簡單的形式，以便使其中的數量關系和空間形式更加明朗和具體，從而找到問題的突破口。這里的簡單不僅是指問題結構形式表示上的簡單，而且還指問題處理方式、方法上的簡單。但是，簡單也具有相對性，如解方程問題，在初學一元一次方程的內容時，形如 式的方程是簡單的，而那些不是這種形式的方程相對就是復雜的了。解方程時，轉化的目標就是通過把含未知數x的項移到一邊，常數項移到另一邊，合并后而使原方程呈簡單形式 。一元一次方程掌握之后，再學習方程組時，所有一元一次形式的方程都是簡單的了。

3.具體化原則

很多數學問題是各種信息的高度濃縮和抽象，如果我們繼續沿著“抽象化”的路走下去，往往會走入迷宮。如果我們改變方向，從新的角度、新的觀念出發，把問題中的各種概念以及概念之間的關系具體明確，亦即對原來抽象的問題具體轉化，往往會使問題輕而易舉地得到解決。

轉化時，可采用具體化的方式（如作圖），使某個抽象的問題形象化，從而在某種具體意義的指導下，討論問題，尋求解答；有時，也可將某一問題的具體內容舍棄，僅關注它的關系和結構，形成為一個純粹的數學問題去進行討論，做到抽象問題具體化。

總之，轉化的原則是以已知的、熟悉的、具體的、基本的知識為基礎，將未知的、陌生的化為已知的、熟悉的，復雜的化為簡單的，抽象的、非基本的化為具體的、基本的，從而得出正確的解答。熟悉化、簡單化和具體化是轉化的三個基本原則。

三、轉化思想的應用

1.轉化思想在解方程中的應用

方程問題是中學數學中的重要分支，分式方程常轉化為整式方程解決，無理方程常轉化為有理方程解決，高次方程常轉化為低次方程解決等。

2.轉化思想在簡單幾何問題中的應用

在解決代數問題時我們常用到數形結合的思想，即由代數式轉化為圖形，而在解決幾何問題時，我們所用到是形與形之間的轉化，即在一個大圖形中實行局部圖形之間的轉化或是在多個圖形中根據相似、全等等特征實行線段與線段、圖形與圖形之間的轉化。

3.轉化思想在解不等式中的應用

不等式作為中學數學中的重要的工具性知識與函數、方程有著緊密的聯系，所以不等式的很多問題都可以轉化成函數和方程問題進行解決，通過這樣的轉化，思路巧妙，過程簡捷。

總之，在中學中，運用轉化思想進行轉化的例子比比皆是。數學對象常從一種狀態轉化為另一種狀態，從一種形式轉化為另一種形式。事物間的相互聯系是實現轉化的條件。所以我們在解題過程中要把握好聯系，打好轉化的堅實基礎，大膽猜想，尋求最有效的轉化方法，以達到事半功倍的效果。