不等式的若干證明方法

秦麗萍

證明不等式同大多數數學問題一樣，沒有固定的模式，證法因題而異，靈活多變，技巧性強。但它也有一些基本的常用方法，要熟練掌握不等式的證明技巧，必須從學習這些基本的常用方法開始。由于不等式的形式多種多樣，所以不等式的證明方法也就靈活多樣，具體問題具體分析是證明不等式的精髓。

一、比較法

（一）作差比較法

作差比較法的理論依據是：A- B>0 A>B；A- B<0 A

不等式兩邊的差的符號是正或負，一般必須利用不等式的性質經過變形后才能判斷。變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少。

例 證明：

證明：

， ，

從上面例子我們可以看出作差比較法證明不等式的基本思路是：

① 作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。

②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。

③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。

注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。

（二）作商比較法

作商比較法的理論依據是：若 >1，且A>0，B>0，則A>B。

例 已知a，b均為正數，求證 ≥

分析：由于要比較的兩式呈冪的結構，故采用作商比較法證明。

證明：令 ，

當a>b時， >1，a-b>0，由指數函數的性質，得 >1；

當a1；

當a=b時，顯然 =1.

∴ 、 均為正數且有 >0，始終滿足 ≥1

即 ≥1 故 ≥

從上面例子我們可以看出作商比較法證明不等式的基本思路是：作商→將商變形→判斷商與1的大小→得出結論。

二、綜合法

證明不等式，也可根據不等式的性質和已經證明過的不等式來進行。這就是用綜合法來證明不等式。綜合法也稱公式法或均值不等式法。

綜合法是“有因導果”，即由已知條件出發，推導出所要證明的不等式成立。但在運用不等式的性質和已經證明過的不等式時，要注意他們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤。

三、分析法

從要證的不等式出發，逐步分析能使不等式成立的充分條件直到所需條件已確認為正確的，即可斷定不等式是成立的，這種證法叫分析法。

分析法證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

分析法的兩個重要策略原則是：正難則反原則，即若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結論向條件追溯；簡單化原則，即尋求解題思路與途徑，常把較復雜的問題轉化為較簡單的問題，在證明較復雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進行變換轉化，得到一個較易證明的不等式。

四、反證法

先假定要證不等式的反面成立，然后推出與已知條件（或已知真命題）和矛盾的結論，從而斷定反證假定錯誤，因而要證不等式成立，這種證明不等式的方法叫反證法。

反證法的基本思想是通過否定結論，導出矛盾，從而肯定結論。

五、放縮法

在不等式證明中，經常用“舍掉一些正（或負）項”而使等式的各項變大（或小），或在分式中利用放大或縮小分式的分子分母，從而達到證明的目的，這種證明不等式的方法叫放縮法。

例 已知a，b∈R，且a+b=1. 求證：

證明：∵

∴左邊= =右邊.

放縮法常用的方法有：

①適當添加或舍去一些正項或負項，如： ； ；

②若分式的分子、分母均為正數，則可把分式的分子、分母適當放大或縮小，以達到對分式放縮的目的。

③利用基本不等式，如： ；

；

④利用函數的單調性，函數的值域進行放縮

① 利用常用結論：

； ； ；

。

有些不等式若恰當地運用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度。

六、換元法

換元法主要指三角代換法，若原不等式的代數式，經過適當的三角換元，或代數換元，使證明過程簡化時，則可通過換元法證之。

換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

換元法若運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化成簡單的三角問題。

七、判別式法

判別式法主要利用一元二次方程根的判別式法。

例 已知a，b∈R，且a+b=1. 求證：

證明：設y=（a+2）2+（b+2）2，由a+b=1，有 ，

所以 ，

因為 ，所以 ，即 .

故 .

八、數形結合法

數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題。數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的認識，數形的轉化，可以培養思維的靈活性，形象性。通過數形結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

無論用什么方法來證明不等式，都需要對數學表達式進行適當的變形。這種變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發現問題的本質，找到突破口。