構(gòu)造幾何模型巧證不等式

周辰

對于那些具有明顯幾何意義的不等式，可以構(gòu)造平面幾何圖形、構(gòu)造解析幾何中的斜率公式、距離公式、定比分點公式、直線和圓、空間立體幾何等有關(guān)知識來證明不等式可以收到意想不到的效果。

一、構(gòu)造斜率模型巧證不等式

例1：求證：0≤ ≤

分析：表達式 與斜率公式k= 具有相同的結(jié)構(gòu)，因此可利用斜率公式來證。

證明：把y= = 看作定點A（―4，―3）與圓x2+y2=9上的動點P（3cosx，3sinx）連線的斜率，設(shè)動直線的方程為y+3=k（x+4）

由 消去y，得（1+k）2+（8k2―6k）x+16k2―24k=0

由 ≥0，求得0≤k≤ ，故不等式得證。

二、構(gòu)造“點到直線的距離”模型巧證不等式

例2：若x、y R且滿足ay―bx=c· （a、b、c R，且x=a與y=b不同時成立），求證：c2≤x2+y2，c2≤a2+b2

證明：設(shè)A（a、b）、B（x、y），O為坐標原點，作OH AB，則在平面直角坐標系mon中，直線AB的方程為（b―y）m―（a―x）n+ay―bx=0，由點O到直線AB的距離知|OH|2= 得（ay―bx）2=|OH|2[（b―y）2+（a―x）2]，與已知條件比較得|OH|2=c2，顯然|OH|2≤|OB|2、|OH|2≤|OA|2

∴ c2≤x2+y2，c2≤a2+b2

三、構(gòu)造線段的定比分點公式巧證不等式

例3：關(guān)于x的二次方程x2+ax+b=0有兩個實根 、 ，其中a、b R

（1）如果|a|<2，| |<2，求證2|a|<4+b且|b|<4

（2）如果2|a|<4+b且|b|<4，求證：|a|<2，| |<2

證明：由表達定理 + =―a， =b，設(shè)―4―b、2a、4+b分別為P1、P、P2在數(shù)軸上的坐標。

（1）要證2|a|<4+b，只需證―4―b<2a<4+b，即只需證P為線段P1P2的內(nèi)分點

∵ = = = =

又∵|a|<2，| |<2 ∴ >0

故P為線段P1P2的內(nèi)分點，且|b|=| |<4

（2）由2|a|<4+b即―4―b<2a<4+b，可知P為線段P1P2的內(nèi)分點，則 = >0，由（1）可知 >0，即（4- 2）（4- 2）>0，因此有 2<4， 2<4（若 2>4， 2>4與|b|=| |<4矛盾），即|a|<2，| |<2

四、構(gòu)造直線與圓的位置關(guān)系巧證不等式

例4：已知a、b R且2a+3b=7，求證： + ≤

分析：待求不等式可視為：求 + 的范圍，令 + =t聯(lián)想到（ ， ）是直線x+y=t上的點，又由（ ）2+（ ）2=2a+3b+2=9聯(lián)想到（ ， ）也是圓x2+y2=9上的點，故設(shè)想構(gòu)造直線與圓相交或相切來證。

證明：設(shè)x= ，y= （x≥0，y≥0且不同時為零），則x2+y2=2a+3b+2=9，又設(shè)x+y=t

∵點（x、y）為直線x+y=t與圓x2+y2=9的公共點

∴ ≤3，又∵t=x+y>0

∴t≤3 即 + ≤

五、構(gòu)造“距離之和”最小值問題巧證不等式

例5：若x R，求證： + ≥

證明： +

= +

設(shè)點P（x，0），A（0，2），B（3，1）則問題轉(zhuǎn)化為求x軸上的P點到A、B兩點的距離之和的最小值。

如圖所示，易知|AP|+|BP|=|A′P|+|BP|≥|A′B|

又∵|A′B|= = 故原不等式成立

六、構(gòu)造幾何圖形證明不等式

有些數(shù)學(xué)問題如按常規(guī)方法求解，有時會因過程較繁而陷入困境。如能從題目的結(jié)構(gòu)特征來分析問題，巧妙構(gòu)造合理的幾何圖形可起到事半功倍的效果。

1.構(gòu)造平面幾何圖形

例6 已知x、y R，求證 + + >3

分析：通過觀察題設(shè)的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到兩點間的距離公式，不等式的左邊如果看作動點（x、y）到點（-1、0）、（1、0）、（0、 ）之間的距離的和，問題轉(zhuǎn)化為三條線段的長度和大于3，問題就迎刃而解。

證明：如圖建立平面直角坐標系，設(shè)A（-1、0）、B（1、0）、C（0、 ）平面上的點P（x、y）

∴PA+PC>AC

PB+PA>AB

PB+PC>BC

∴2（PA+PB+PC）>AC+AB+BC=6

∴PA+PB+PC>3

∴ + + >3

七、構(gòu)造立體幾何圖形

例7.已知銳角α、β、γ滿足 =1，求證：tanα·tanβ·tanγ≥2

分析：由于已知 =1聯(lián)想到長方體，構(gòu)造長方體 ，設(shè)它的長、寬、高分別為a、b、c，且設(shè)相交于同一頂點的三條棱與交于此頂點的對角線所成角分別為α、β、γ

證明：長方體 ，對角線 與 、 、 所成的角分別為α、β、γ，設(shè) =a， =b， =c

∴tanα·tanβ·tanγ= · · ≥

當且反當a=b=c，即α=β=γ時等號或成立，即證畢。

從以上例子可以看出，有些不等式的證明用常規(guī)方法證明較難入手，若選擇構(gòu)造幾何模型，利用幾何意義就可以很輕松地證明出來了。