例說TI圖形計(jì)算器在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：隨著TI圖形計(jì)算器的普及，TI圖形計(jì)算器已成為豐富一線教學(xué)的媒介和實(shí)驗(yàn)工具。在教學(xué)中運(yùn)用TI圖形計(jì)算器，可以把教師從繁瑣的計(jì)算中解放出來，把很多函數(shù)圖象直觀生動(dòng)地呈現(xiàn)出來，這是現(xiàn)代教學(xué)理念的一種新嘗試。運(yùn)用TI圖形計(jì)算器輔助三角函數(shù)的教學(xué)，需要重點(diǎn)關(guān)注的是TI圖形計(jì)算器所提供的幾何作圖、追蹤等功能。課堂上，教師應(yīng)給予充足的時(shí)間，讓學(xué)生以小組為單位自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，繪畫函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出公式，在學(xué)習(xí)過程中充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合以及化歸等數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；TI圖形計(jì)算器；教學(xué)案例

一、運(yùn)用TI圖形計(jì)算器的意義

隨著TI圖形計(jì)算器的普及，TI圖形計(jì)算器被引入數(shù)學(xué)課堂。現(xiàn)在各個(gè)學(xué)校都在建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，TI圖形計(jì)算器已成為豐富一線的教學(xué)媒介、實(shí)驗(yàn)工具。教學(xué)中運(yùn)用TI圖形計(jì)算器這個(gè)研究工具，可以把教師從繁瑣的計(jì)算中解放出來，把很多函數(shù)圖象直觀生動(dòng)地呈現(xiàn)出來，這是現(xiàn)代教學(xué)理念的一種新嘗試。實(shí)踐證明，結(jié)合TI圖形計(jì)算器的數(shù)學(xué)教學(xué)有助于消除學(xué)生在求學(xué)過程中的畏難情緒，有助于發(fā)掘?qū)W生聯(lián)系實(shí)際、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題的能力，更有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、把TI圖形計(jì)算器引入三角函數(shù)教學(xué)的案例

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。新課程目標(biāo)強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，在思考、探究中主動(dòng)構(gòu)建知識。運(yùn)用TI圖形計(jì)算器輔助三角函數(shù)的教學(xué)，我們重點(diǎn)關(guān)注的是TI圖形計(jì)算器所提供的幾何作圖、追蹤等功能。課堂上，我們給充足的時(shí)間讓學(xué)生以小組為單位自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，繪畫函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出公式，在學(xué)習(xí)過程中充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合以及化歸等數(shù)學(xué)思想。下面是我們把TI圖形計(jì)算器引入三角函數(shù)教學(xué)中的一些嘗試。

（一）三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)的教學(xué)中，全班分成8個(gè)小組，在教師的引導(dǎo)下，跟著教師一起動(dòng)手操作，教師巡查學(xué)生的操作情況，學(xué)生分組合作探究的過程中可能會(huì)遇到各種問題，引導(dǎo)學(xué)生可以進(jìn)行組內(nèi)、同做一個(gè)實(shí)驗(yàn)的組間討論，教師將全程提供TI圖形計(jì)算器技術(shù)方面的支持。本節(jié)實(shí)驗(yàn)操作分為三個(gè)探究完成，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察拖動(dòng)P點(diǎn)時(shí)的變化情況。尋找角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是探求三角函數(shù)之間關(guān)系的關(guān)鍵，再次強(qiáng)調(diào)結(jié)論對任意角都成立。

探究1：若α是任意角，α與-α終邊的位置關(guān)系，α與-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)有什么關(guān)系？交點(diǎn)的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？寫出其三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

探究1中誘導(dǎo)公式二探究成功后，后面兩組誘導(dǎo)公式，學(xué)生可仿照探究1的思路，自主探究2和3，得到誘導(dǎo)公式三和四。每個(gè)探究，全班派一個(gè)組作為代表來匯報(bào)探究的結(jié)果，匯報(bào)組只需派兩名代表上臺：一名學(xué)生用TI圖形計(jì)算器演示的同時(shí)講解他們歸納的情況，另一名學(xué)生將發(fā)現(xiàn)的“若α是任意角，則將α與π+α、π-α終邊的位置關(guān)系及其三角函數(shù)值之間的關(guān)系”在黑板上寫下來。

TI圖形計(jì)算器在本節(jié)課的展示使得學(xué)生對“任意角α與-α、π+α、π-α終邊的位置關(guān)系”的理解有了具體的認(rèn)識，通過實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)角α與-α、π+α、π-α終邊的位置關(guān)系及其三角函數(shù)值之間的關(guān)系，從最初教會(huì)學(xué)生把任意角的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)到現(xiàn)在利用TI圖形計(jì)算器讓學(xué)生充分感受角的終邊的旋轉(zhuǎn)過程，體會(huì)當(dāng)中的變與不變，把誘導(dǎo)公式（數(shù)）與單位圓（形）得到緊密結(jié)合，進(jìn)而推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，學(xué)生再也不用根據(jù)老師靜態(tài)舉例進(jìn)而拋出公式，記住公式，機(jī)械地做題了。這樣既解放了教師，也解放了學(xué)生。

（二）三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律

三角函數(shù)的圖象變換是高中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生并沒有足夠的時(shí)間和合適的機(jī)會(huì)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，明確變換規(guī)律的來龍去脈，而僅僅是通過教師的課堂演示，學(xué)習(xí)圖象變換的規(guī)律。因此，學(xué)生不能理解知識的本質(zhì)，在解題時(shí)常因遺忘或混淆規(guī)律而出錯(cuò)。

本節(jié)課運(yùn)用“觀察—猜想—驗(yàn)證”探究問題的方法，結(jié)合具體函數(shù)圖象的變化，采取先“各個(gè)擊破”，然后“歸納整合”的方法，探索參數(shù)A、ω、φ的變化與函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變換的關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合與化歸的思想。分析問題時(shí)，可以將一個(gè)復(fù)雜問題分解為若干簡單問題處理。本節(jié)實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生會(huì)使用TI圖形計(jì)算器輸入函數(shù)解析式，并能熟練運(yùn)用其中的游標(biāo)卡尺功能。

探究2：φ對y=sin（x+φ）圖象的影響。畫出y=sinx、y=sin（x+1）和y=sin（x-1）的圖象，觀察圖象間的關(guān)系，猜想y=sin（x+φ）與y=sinx圖象的關(guān)系。利用TI圖形計(jì)算器快速作出y=sin（x+φ）的圖象，通過游標(biāo)卡尺控制參數(shù)φ，動(dòng)態(tài)演示函數(shù)圖象隨著參數(shù)φ的改變而變化的過程。

探究3：ω對y=sin（ωx）圖象的影響。畫出y=sinx、y=sin（■x）和y=sin（2x）的圖象，觀察圖象間的關(guān)系，猜想y=sin（ωx）與y=sinx圖象的關(guān)系。請同學(xué)們通過設(shè)計(jì)方案，用TI圖形計(jì)算器探究ω對y=sin（ωx）圖象的影響，并完成實(shí)驗(yàn)記錄和實(shí)驗(yàn)分析。

1. 實(shí)驗(yàn)記錄

2. 實(shí)驗(yàn)分析

通過拖動(dòng)游標(biāo)卡尺，改變數(shù)值，觀察圖象特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)ω>1時(shí)，函數(shù)y=sin（ωx）的圖象，可以看作是函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的_____坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳____倍，_____坐標(biāo)不變。

（2）當(dāng)0<ω<1時(shí)，函數(shù)y=sin（ωx）的圖象，可以看作是函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的_____坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳____倍，_____坐標(biāo)不變。

（3）由函數(shù)y=sin（ωx）的圖象可得：函數(shù)y=sin（ωx）相對于y=sinx的周期變_____（大或小）。

探究4：A對y=Asinx圖象的影響。畫出y=sinx、y=2sinx和y=■sinx的圖象，觀察圖象間的關(guān)系，猜想y=Asinx與y=sinx圖象的關(guān)系。（仿照探究3的思路）

TI圖形計(jì)算器為學(xué)生自主探究、課堂上進(jìn)行快速有效的實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證提供了技術(shù)支持。傳統(tǒng)課堂中，學(xué)生可以利用“五點(diǎn)法”動(dòng)手畫圖，畫出很多函數(shù)圖象后歸納結(jié)論，但這個(gè)過程用時(shí)較多，且得到的數(shù)據(jù)不多，借助TI圖形計(jì)算器，這些問題都可以得到解決。利用TI圖形計(jì)算器完成實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和圖形可大量地、快速地呈現(xiàn)，加深了感性認(rèn)識的同時(shí)大大縮短了實(shí)驗(yàn)研究的時(shí)間，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲和興趣。在本節(jié)教學(xué)中，教師提出問題，由學(xué)生合作解決，在探究過程中，教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)一般與特殊之間的關(guān)系，并借助圖形計(jì)算器輔助思維，通過前后坐標(biāo)的變化理解圖象變換的實(shí)質(zhì)。

教學(xué)中，以提問題的形式引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際操作，借助圖形計(jì)算器輔助，親自感知，在實(shí)踐中得出真知，在理論上得到驗(yàn)證，讓學(xué)生真正參與到課堂活動(dòng)中來，成為課堂的主人。