對多邊形內角和的有效探究策略

摘 要：勇于探究，是中國學生核心素養中極為重要的一項素養。隨著新課程改革的不斷深入，有效數學探究的教學強調了對學生探究素養發展的重視。本文以《多邊形內角和》為例，提出了問題引領探究、實驗經歷探究、激勵樂于探究、分層合作探究、創新升華探究五大策略。

關鍵詞：多邊形內角和 有效探究 策略

新課程改革，極力提倡自主、合作和探究學習。勇于探究，更是中國學生核心素養中極為重要的一項素養。但是，學生探究訓練往往落實不到位，課堂上學生不愿探究、不會探究、無效探究、只是少數尖子生在探究等現象，比比皆是。數學教學，如何組織學生有效探究呢？下面以《多邊形內角和》為例，淺談有效數學探究實施策略。

一、問題引領探究

為避免學生漫無目的的瞎探究、亂探究等無效活動，探究活動開始之前，必須讓學生十分明確探究的目的、任務、思路和程序。學始于思，探源于疑。因此，如學完多邊形、正多邊形的概念后，教師可通過如下問題串引導學生探究：

【設疑引探】怎樣探究多邊形內角和呢？（思路提示：先分析三邊形、四邊形、五邊形、六邊形等內角和，再歸納、猜想一般多邊形內角和，最后再對猜想進行證明。）

【解疑合探】正方形、長方形的內角和都等于360°，那么任意一個四邊形的內角和是否也等于360°呢？

【解疑合探】我們能進一步推導出五邊形和六邊形的內角和各是多少嗎？

【解疑合探】由三邊形、四邊形、五邊形和六邊形內角和能猜想多邊形的內角和與邊數的關系嗎？怎樣證明這個猜想？

【創新再探】反觀上述探究多邊形內角和的過程，你們認為“化歸”是否最為關鍵？你們還有其他新方法、新疑問、新發現嗎？

二、實驗經歷探究

回歸學生學習主體，將教學活動轉變為學生真正的實驗探究活動，讓學生經歷合情猜想、問題解決、驗證猜想、歸納模型等過程，并積累相應的活動經驗。

第一步：借助已有知識，讓學生獲得歸納、類比、合情猜想的經驗。比如：

【片段一】

教師：我們已知三角形的內角和是180°，那么四邊形的內角和會是多少度呢？

學生：我認為四邊形的內角和是360°，比如長方形、正方形，其四個直角之和就是360°。

教師：大家從特殊四邊形類比一般四邊形，推斷四邊形四角和為360°，是合情推理。至于正確與否，我們可一起來實驗驗證它。

第二步：借助于實驗單的形式將新知化歸舊知，進而讓學生獲得解決問題的經驗。

【片段二】

（1）教師鼓勵學生動手實驗，并出示小組合作探究實驗單：至少采取三種不同的實驗方法（教師可適當提示）驗證四邊形內角和為360°。

（2）學生小組展示。抽A組、B組的實驗單進行展示并解說。

（3）教師提出問題：大家能用這種方法將五邊形、六邊形也分成幾個三角形后算出他們的內角和嗎？然后出示第二個實驗單：利用化歸方法探究五邊形和六邊形的內角和。

最后教師引導學生思考，比較上述兩個實驗單的實驗過程，強調“化歸”策略的價值和問題解決的方法。

第三步：完成實驗三：驗證四邊形、五邊形和六邊形內角和與邊數的關系。學生進而獲得驗證猜想經驗。完成實驗后，學生初步認識基于四、五、六邊形內角和的普遍特點，但是特點不夠穩定，需要更多感性支撐。我們鼓勵學生在一系列的不同角度觀察和不同的操作活動中獲得實驗驗證。

第四步：從具體到抽象，從而獲得歸納模型經驗。這一步驟是對前幾步的升華，超越了實際操作層面，利于更好地實現活動“內化”。基于上述實驗探究，得出四邊形、五邊形、六邊形等分成的三角形個數和各圖形的內角和的求法。這其實是一組結構性強、且具有內在規律性的感性素材，以此為基礎引導學生進行觀察和比較，繼而發現內在規律性特點：所分成的三角形個數要比其邊數少2，內角和是三角形個數乘以180°，因此多邊形的內角和=（邊數-2）乘以180°。在此過程中，學生經歷了模型的具體形成過程，并積累了模型建構的初步經驗。

三、激勵樂于探究

為確保學生探究活動的有效性和積極性，教師千方百計的持續激勵尤為重要。教師是探究活動的組織者、引導者、合作者。探究多邊形內角和的活動中，學生任何有價值的實驗設想、合理猜想、嚴謹的驗證、創新的化歸方法，教師都要及時強化和表揚激勵。教師組織開展的小組學習競賽和晉級、讓學生展示探究思路和成果、讓優生幫輔本組學困生、各小組之間相互質疑、開展自主探究、合作探究、展示評價、創新比拼等形式，都能有效激勵學生探究的積極性，同時也提高了學生的綜合探究能力。

四、分層合作探究

有效數學探究必須是落實分層合作、保證全員參與。在設計課堂組織形式時貫徹分層教學思想。我將全班分為6—8個小組，每個小組注意學生ABC三層次搭配（原則是：B層展示，A層點評。若改為C層展示則該小組雙倍加分，或A層點評的思路和解法有創造性則該小組也雙倍加分）、男女搭配、個性搭配，盡可能組內異質，組間同質，各小組之間每周按評分進行晉級競賽。這一機制下，ABC三層次學生都得到充分的調動，效果出奇的好。在分層教學的過程中，教師要注意確定合理的梯度化教學目標，引導不同層次的學生共同進步，讓學生都能夠感受到學習數學的快樂。比如，本節課避免直接讓學生推導N邊形內角和公式，從三角形、四邊形、五邊形、六邊形內角和到N邊形內角和進行逐步推導，讓全體學生掌握基礎知識和基本技能的同時，掌握有效探究的基本思想方法，并獲得有效探究活動經驗。

五、創新升華探究

教學設計要利于學生體驗與理解，思考和探索，并且重視過程和結果，學生能夠進行深刻地思考，同時還能將知識內化為智慧。比如下面片段探究后：

【片段三】

（1）如果連接四邊形的一條對角線（如圖1所示），你能確定這一四邊形的內角和嗎？試著分析原因。

（2）如果連接四邊形的兩條對角線（如圖2所示），這兩條對角線相較于點o，你能借助于該圖確定四邊形的內角和嗎？

（3）如果移動點o的位置，點o可能在四邊形的什么位置呢？你能借助于相應的圖形確定四邊形的內角和嗎？

（4）類比四邊形的探索方法，你可使用哪些方法來確定五邊形的內角和？

（5）確定五邊型的內角和，可將五邊形轉化成一個四邊形和一個三角形呢？

（6）六邊形的內角和又該怎樣確定呢？

根據探索，完成以下表格內容。

教師：大家有創新的見解嗎？

學生1：第（3）步中，最好的是將點o移動到多邊形內或多邊形一個頂點上。理由是……

學生2：第（6）步中，從一個頂點出發的對角線分出的三角形個數可以用該頂點相鄰的兩條邊以外的邊數來對應計算。

學生3：探究多邊形內角和關鍵要化歸成三角形內角和來計算。

學生4：每多一個頂點就可以多分割出一個三角形。因此六邊形內角和比五邊形多180°，五邊形比四邊形內角和多180°。

學生5：上表中六邊形ABCDEF，可以將對角線AD去掉，改為連接對角線EC，同樣達到化歸目的。

學生6：·····……

有效數學探究，要依托有效的教學組織策略。問題引領探究、實驗經歷探究、激勵樂于探究、分層合作探究、創新升華探究等策略的實施，不僅強調教學的有效性，更注重培養學生的樂于探究和善于探究的良好素養。

參考文獻

[1]徐淑艷.運用任務驅動法進行有效教學的一次嘗試—《探索多邊形的內角和》的課例研究[J].好家長，2017（58）：78.

[2]吳永慶.數學實驗課堂需要“生動”——“多邊形內角和”教學有感[J].小學教學參考，2017（29）：28-29.