數(shù)學討論中的教師支持行為研究

摘 要： 推理論證能力是學生學習數(shù)學不可或缺的能力，研究哪些教師支持行為有助于提高學生的推理論證水平，可以為教師組織討論提供建議。在對小學數(shù)學課堂集體討論進行案例分析，并結合教師訪談的基礎上，研究者總結出組織型和參與型兩類教師支持行為，其中組織型支持行為包括邀請、重申、指令和評價，參與型支持行為包括澄清、補充、提示和連接。基于此，數(shù)學教師應綜合使用兩類教師支持行為，有意識地引導學生運用基本原理，多做指路人而非攙扶者，培養(yǎng)學生的推理論證能力。

關鍵詞： 數(shù)學討論;教師支持;推理論證;課堂教學

中圖分類號： G623.5" 文獻標識碼： A" 文章編號： 2095-5995（2018）10-0056-04

一、問題提出

推理論證能力是學生學習數(shù)學不可或缺的一種能力。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程的總目標中就要求學生“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法”[1] 。數(shù)學推理論證能力外顯于表達與交流中。美國《州共同核心數(shù)學標準》在第三項實踐標準指出，數(shù)學學得好的學生不僅能使用猜測、定義和已有結論構建自己的論證，還能評價別人的推理是否正確。[2] 數(shù)學討論可以發(fā)展學生的推理論證能力，但是討論法在我國數(shù)學教學中的應用效果并不樂觀，有些數(shù)學教師認為“講授越多，討論越少，學生數(shù)學成績越好”[3] 。教師應當如何在討論中指導學生進行推理論證，成為目前一個新的研究課題。研究教師在組織數(shù)學討論中的支持行為可以為教師提供建議，以發(fā)展學生的推理論證能力。

國外有研究者從多方視角論述了數(shù)學討論中的教師支持行為，例如，福曼從社會語言學的角度，分析了“重復”在教師組織數(shù)學討論中的作用;[4] 亞肯利用 拓爾敏的論證圖式模型，列舉了教師的言語行為和非言語行為;[5] 康內(nèi)爾概括出了集體論證中教師的支持行為有直接支持、提問、其他支持。[6] 從已有文獻來看，國外的相關研究已較為豐富，但是這些研究多從靜態(tài)的角度分析動態(tài)的數(shù)學討論，雖然研究了教師的教學行為，卻很少關注學生的推理論證水平是否得到了提升。因此，考察教師在提升學生推理論證水平的過程中提供了哪些幫助，不僅可以彌補此領域國內(nèi)外相關研究的不足，而且可以為教師組織數(shù)學討論提供一些具體的建議。

二、研究方法

（一）研究工具

已有研究在制定課堂推理論證的評價指標時，大多借鑒了拓爾敏的論證圖式模型。該模型將要證明的觀點或結論、直接證據(jù)、前提條件、附加的支撐、限定、反駁規(guī)定為論證的六要素。通過前期調研，研究者發(fā)現(xiàn)小學生常常不能完整地論證一個數(shù)學問題，他們只能利用論證模型當中的一個要素或多個要素參與到推理討論中。論證的完整程度可以反映出小學生的推理論證水平。 基于此，研究者根據(jù)結論、推理、交流三個維度，將小學生在數(shù)學討論中的推理論證表現(xiàn)劃分為6個水平。水平1：不能給出結論，保持沉默。水平2：不能給出結論，但是知道哪些條件是可供利用的，或者能辨識別人的主張是否正確;能夠給出結論，但結論不準確;能夠給出結論，但無法說明理由。水平3：能夠給出結論，但是推理有錯誤，推理不完整或推理沒有條理。水平4：結論正確，且能較為完整地表達自己的推理過程，有一定的邏輯性。水平5：結論正確，能夠利用別人的觀點來支持自己的立場;能夠反駁別人。水平6：結論正確，能夠用不同的策略來支持自己的立場，能證明別人的觀點是錯誤的或者用多種方法證明自己的觀點;能夠對爭論的問題和討論的過程進行總結，能找到各個觀點及知識點之間的聯(lián)系。

（二）研究對象

本研究一共選取了8位小學二年級和三年級的數(shù)學教師作為研究對象，他們均來自廣州市的5所公立小學，且學校數(shù)學教學質量均位于廣州市前列。在課堂上，這些教師經(jīng)常使用集體討論形式解決數(shù)學問題。

（三）研究方法與數(shù)據(jù)收集

本研究主要采用課堂觀察法和訪談法，研究者先對數(shù)學課堂進行觀察、分析，再結合教學錄像提取出學生群體的推理論證水平得到了提升的案例，然后分析教師在這些片段中的支持行為類型和作用，并通過教師訪談確認分析無誤，最后檢驗這些支持行為是否對提升學生推理論證水平起作用。

三、研究結果

研究發(fā)現(xiàn)，教師的支持行為有組織型和參與型兩種類型。組織型支持行為包括邀請、重申、指令和評價，參與型支持行為有澄清、補充、提示和連接。在組織型支持行為中，教師雖然提供給學生數(shù)學知識，但是這些知識不能直接作為推理的要素， 它們只能在論證的必需步驟之外產(chǎn)生鼓勵和暗示，因此組織型支持行為僅對組織討論起作用，對推理不起直接作用。在參與型支持行為中，教師或提供某種推理思路，或參與到推理過程中，集體討論因教師的直接參與而向著更流暢、更準確、更抽象的方向發(fā)展，這類支持行為對學生推理能力的提升具有直接的引導作用。以下是對這幾種支持行為的說明：

（一）邀請

數(shù)學討論中的對話包括學生與教師的對話，學生與學生的對話以及學生與自己的對話。其中，師生對話與生生對話是外顯的對話，學生與自己的對話是內(nèi)隱的對話，邀請學生參與討論是教師的首要支持行為。在邀請前，教師要考慮好邀請的對象和邀請的順序。一般來說，教師結合問題的難度、學生的學習作品、學生的參與狀態(tài)、學生的推理論證表現(xiàn)水平等來指定發(fā)言者。教師邀請學生主動發(fā)言時，教師可以說“有誰可以解釋清楚？”而對于發(fā)言的順序，教師應先請推理論證水平表現(xiàn)較低的學生陳述答案及理由，如果出現(xiàn)無理由或推理無條理的情況，再邀請推理論證水平較高的學生發(fā)言。這樣層層推進的設計可以幫助學生認識到已有論證的缺陷，從而引發(fā)學生的認知沖突，促使學生對問題的論證向更完整、更有條理的方向前進。

（二）重申

重申的教學行為經(jīng)常發(fā)生在數(shù)學教學討論中，包括教師重復提問、重復學生的發(fā)言、總結學生的觀點等。當學生在1級推理論證水平附近停滯時，教師反復變更自己的數(shù)學語言，綜合利用語言文字、符號、圖形、圖表等，可讓學生理解數(shù)學問題，明確目標。教師重復學生的話語時偶爾還會伴隨一定的語調，這往往是起突出和強調作用，以引起其他學生的注意和思考。教師總結學生的觀點則往往發(fā)生在討論的中期階段，此時學生整體的推理論證水平一般達到了水平3及以上，教師梳理、總結學生已表達的觀點和理由，能幫助學生清晰地了解全體學生的一般觀點和解決問題的一般策略，幫助學生厘清思路，推動學生的推理論證水平向更高層次發(fā)展。

（三）指令

集體討論離不開教師的組織。如果沒有教師的組織，那么積極的學生唯恐自己的意見不為別人所知，就會抓住一切機會暢所欲言，而不積極的學生則沉默寡言，不能參與到討論中。因此，集體討論需要教師的引導。教師的指令可以維持討論秩序，保證集體討論中學生的參與度和投入度。在低年級小學數(shù)學課堂討論中，教師支持行為有“一二三，坐端正”等維持秩序的指令。針對高年級小學生，教師發(fā)出的指令應指向學生的認知狀態(tài)，例如“沒聽明白的同學請舉手”。指令支持行為能夠幫助教師把握學生參與討論的狀態(tài)，同時為教師的下一步支持行為提供保障。

（四）評價

有效的課堂評價可以為學習者自我調節(jié)提供有效的信息，提高學生課堂參與和自主學習的積極性。教師對推理的反饋有利于學生的自我反思，一方面可以讓發(fā)言者補充或修正觀點，另一方面可以激勵其他學生參與到討論中，引發(fā)深層次的數(shù)學交流。從評價內(nèi)容來看，教師的評價既有對是非的判斷，例如“你說得對”，也有對學生推理的質疑，此時教師提供與學生觀點相矛盾的事實或觀念。從評價的形式來看，評價既可以是教師對學生的推理做出診斷與分析，例如“你說得很清楚”;也可以由學生來評價，如“你們覺得他分析得怎么樣？”等。通過評價，學生得到及時的反饋從而能獲得繼續(xù)參與討論的動力，及時修正錯誤，促進學生推理論證水平的提升。

（五）澄清

澄清與評價都是對學生推理論證的反饋，但不同的是澄清不再是簡單地判斷學生的數(shù)學認知和技能是否正確，而是明確指出為什么正確與錯在何處。澄清的支持行為往往發(fā)生在水平2或水平3，在澄清的支持下，學生能夠正確合理地證明一個觀點或結果。在三年級的“認識時間”討論活動中，圖上鐘表時針指在8與9之間，分針指向4，一個學生認為：“4、5、6、7、8共有5格，4乘5等于20，所以是20分，又因為時針走過了8，所以（圖上表示的時間）是8點20分。”雖然學生得出“8點20分”這個結論是正確的，但該學生誤用分針與時針之間的跨度來計算分，推理的過程是不正確的。這時，教師立即澄清了學生的錯誤，指出“分針是從12開始數(shù)，不是從4到8，明白了嗎？”學生也馬上意識到了自己的錯誤， 說道：[DK1]“分針從12到4共走過了4格，4乘5等于20，時針走過了8，所以是8點20分。”這樣教師通過澄清學生的錯誤，讓學生理解自己的推理錯誤，在弄懂知識的同時也發(fā)展了推理能力。

（六）補充

數(shù)學課堂上集體討論的實質就是數(shù)學推理，學生解決問題的過程也就是學生進行推理論證的過程，學生從前提出發(fā)，經(jīng)過一個命題判斷到另一個命題判斷，最終得到所要論證的結論。[7] 在拓爾敏看來，一個完整的論證需要觀點、直接證據(jù)、前提條件、附加的支撐、限定和反駁六個要素，即便一個最簡單的論證也必須包含前面三個要素，即觀點、直接證據(jù)、前提條件。小學數(shù)學里的三段論推理模型就屬于這個類型。我們的研究發(fā)現(xiàn)，小學生在推理時容易遺漏前提條件，且推理的步驟之間不連貫。此時，教師如果及時補充推理中缺少的要素，就可以提高論證的準確性，推動論證的進程。在解決“超市一周賣出5箱保溫壺，每個保溫壺賣45元，一共賣了多少錢？”這一問題時，第一個學生說出了用5乘12再乘45，待他說完后，第二個學生立即補充“因為要求總錢數(shù)，也就是求幾個幾的問題，所以要用乘法。”可見，第一個學生的推理論證水平已經(jīng)達到了水平2，可以正確列式。第二個學生雖能給出理由，但理由不完整，其推理論證表現(xiàn)達到水平3。為了讓學生表達得更加完整，教師抓住了提問的契機，問學生“12”這個數(shù)字是哪里來的。第二個學生在教師的引導下，立即補充：“從圖上可以數(shù)出每箱有12個保溫壺！”可見，教師及時介入到學生的不完整推理論證中去，能幫助學生完整地說出推理論證的過程。之后陸續(xù)有學生參與到討論中，此時學生不僅能列式，還能完整說出為什么用乘法，并解釋算式中的每個數(shù)字代表的意義和每一步計算的目的。甚至還有學生能比較（5×12）×45和5×（12×45）兩個算式的不同含義。在這個討論片段中，教師的補充支持行為促使學生最終的整體論證表現(xiàn)水平達到6級，學生在原有的基礎上取得了很大進步。

（七）提示

發(fā)現(xiàn)事實背后的規(guī)律及其原因對于小學生來說比較困難，而這恰恰是學生思維發(fā)展由形象思維向抽象思維過渡的關鍵，學生抽象思維的水平直接影響其推理水平。教師從學生的見解出發(fā)，在其基礎上做進一步的提煉和概括，并用提示的話語引導學生找到解答思路，可以推動學生推理水平向前發(fā)展。例如，在學生發(fā)現(xiàn)“用棋子擺出的個數(shù)分別是1、2、3、4、5”后，教師鼓勵學生找到背后的規(guī)律，問學生“所以你們擺出的個數(shù)越來越[CD#2]？”學生在教師的提示下仔細思考棋子數(shù)量的特征，并總結出“棋子個數(shù)越來越多”的規(guī)律。提示可以是基于學生直接的生活經(jīng)驗和認知，為學生提出具體的數(shù)學問題;也可以是基于抽象的推理，能引導學生在原有基礎上繼續(xù)進行更深層次的邏輯推理。

（八）連接

數(shù)學討論中的推理論證重在思維交流，學生的推理論證能力正是在思維的碰撞中得以發(fā)展的。教師聯(lián)系不同學生的相似觀點，有助于學生總結數(shù)學討論后的結果，或理解集體論證所達到的層次。教師聯(lián)系學生不同的甚至對立的觀點，能引導學生對不同觀點進行比較，找出自己的觀點在集體論證中所處的地位和做出的貢獻，為學生整合最優(yōu)觀點提供支架。研究發(fā)現(xiàn)，教師的連接支持行為用得越多，學生推理論證水平越高。

四、討論與建議

研究發(fā)現(xiàn)，上述8種教學行為是教師組織集體討論，促進學生推理論證水平發(fā)展的主要支持行為。在數(shù)學教學討論中，這8種支持行為并不是完全獨立的，它們經(jīng)常交叉、重疊地出現(xiàn)在數(shù)學討論中，對學生的推理直接或間接地發(fā)揮作用。教師在使用這些支持行為時，應當以學生的推理論證需要為中心，結合學生的已有經(jīng)驗靈活地為學生提供支持。

（一）綜合使用兩類教師支持行為

教師提供必要的支持，可以促進學生提高推理論證水平。研究發(fā)現(xiàn)，教師利用邀請、重申、指令、評價這類組織型支持行為，可以激發(fā)學生的討論熱情，引導學生注意結論和證據(jù)，規(guī)范討論秩序，為學生表達觀點提供合適的途徑，促使學生主動發(fā)現(xiàn)論證中的不足之處，進而提升學生的推理論證水平。這些支持行為主要為學生推理論證提供動力支撐，間接發(fā)展學生的推理論證能力。教師使用澄清、補充、提示和連接這類參與型支持行為，直接指出論證各要素的不合理或者不完善之處，甚至延續(xù)學生的討論，為集體討論的結論和證明出謀劃策，教師以參與討論的形式直接推動學生的推理論證活動向前發(fā)展。兩種類型的教師支持行為在數(shù)學討論中都不可或缺，教師應當綜合使用兩類支持行為，既發(fā)揮學生討論的主體性，又發(fā)揮教師組織討論的主導地位，為學生搭建推理論證能力發(fā)展的“腳手架”。

（二）有意識引導學生運用基本原理

“在啟發(fā)式數(shù)學教學中，教師應時刻注意引導學生從一般原理的高度去認識新知識（特殊問題推廣到一般原理），要引導他們找出新舊知識在一般原理上的一致性，指導他們將具體知識歸納為一般原理，使知識具有廣泛的遷移性。”[8] 利用一般原理而不是具體的知識解答問題對小學生推理能力的發(fā)展極其重要。但小學生在證明自己的觀點時，常常不能用一般的原理作為證明的條件，而是用以前經(jīng)歷類似問題時的方法解答問題，這種基于具體問題的數(shù)學遷移在論證中并不具有較強的說服力。因此，教師在使用參與型支持行為時，應當有意識地教學生概括具體的問題，從具體的問題中提煉出要證明的問題，以及利用數(shù)學中的基本原理證明自己的結論。在使用組織型支持行為時，教師應當注意評價的使用，培養(yǎng)學生運用一般原理證明結論的習慣，讓學生完善推理過程，發(fā)展推理能力。

（三）多做指路人而非攙扶者

與組織型支持行為相比，參與型的教師支持行為在討論中能提供給學生更多的數(shù)學知識和解決問題的方法，能更加快速地推動學生集體推理論證能力由低水平向高水平發(fā)展。但如果教師過多使用澄清、補充、提示和連接，容易導致學生依賴教師的牽引，其數(shù)學推理能力卻難以得到實質提高。因此，教師把握參與型支持行為的度就顯得格外重要。有研究者通過對教師提問這一支持行為的分析，總結出啟創(chuàng)者、導引者、攙扶者這三類教師角色，啟創(chuàng)者的教師行為重在啟迪學生探尋解決問題的辦法，導引者的教師行為關注學生在教師的思路指引下得出結論，攙扶者的教師行為讓學生僅通過回憶已有的事實就能解決問題。[9] 教師在組織數(shù)學討論時，應當多做指路人，而不是攙扶者。

參考文獻：

[1] 教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：9.

[2] Common Core State Standards Initiative. Common Core State Standards for Mathematics[EB/OL].http：//www.corestandards.org/Math/Practice/，2013-09-11.

[3] 鄭太年，王美，林立甲，等.我國教師的教學方法及其對學生數(shù)學成績和問題解決能力的影響[J].全球教育展望，2013（2）：34-44，62.

[4] Forman E A， et al. “Youre Going to Want to Find Which and Prove It”： Collective Argumentation in a Mathematics Classroom[J]. Learning and Instruction，1998（6）：527-548.

[5] Yackel E. What We Can Learn from Analyzing the Teachers Role in Collective Argumentation？ [J].Journal of Mathematical Behavior，2002（21）：423-440.

[6] Conner A. Teacher Support for Collective Argumentation： A Framework for Examining How Teachers Support Students Engagement in Mathematical Activities[J].Educational Studies in Mathematics，2014（3）：401-429.

[7] 史寧中.基本概念與運算法則——小學數(shù)學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：114-115.

[8] 曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2014：61.

[9] 吳康寧，程曉樵，吳永軍，等.教師課堂角色類型研究[J].教育研究與實驗，1994（4）：3-10.