簡單線性規劃的內容及應用

方宇

摘 要： 線性規劃是初等數學知識重要組成部分，它是以函數為基礎研究目標函數在約束條件下取得最優解。不僅在資源分配、經營管理等方面有著重要作用，如今，也是高考必考的知識板塊！那么究竟什么是線性規劃呢？什么又是線性規劃的最優解？以及研究它在實際生活中又有哪些應用呢？本文首先道出了學習線性規劃的背景、意義，然后解讀了簡單線性規劃內容，最后歸納出中常見的幾種題型以及在日常生活中的應用。

關鍵詞： 簡單線性規劃；最優解；考察形式；

1 研究課題的提出

1.1 課題研究的背景及意義

隨著科學技術的發展，線性規劃思想廣泛應用于各個各個領域，它已經成為資源分配最佳方案的有力工具。簡單的線性規劃涉及了數學模型、數形結合等思想，如何掌握這部分知識以及解決其在生活中的簡單應用，不僅是學生要必須掌握的知識點，也是數學老師所必須掌握的教學技能！

2 相關理論研究與準備。

2.1 相關概念的界定

線性規劃：在線性約束的前提下求解線性目標函數的最值問題，我們稱之為線性規劃問題。

線性約束條件：方程組組是一對變量的約束條件，這些約束條件都是關于變量的一次不等式，我們把它稱為稱為線性約束條件。

目標函數：我們把需要求解最值的函數稱為目標函數。

2.2 簡單線性規劃方法——圖解法

例：某養殖戶需購進飼料600千克，現市面上有兩種飼料，一種是每袋30千克，價格為140元，還有一種飼料是每袋20千克，價格為120元，在滿足養殖場所需的前提下，養殖場最少需要花費多少錢？

（1）根據題目意思找出表示約束條件的不等式組和目標函數；

設購買第一種飼料x袋，購買第二種飼料y袋，則由題意，可得到以下關系式

且可以確定其目標函數為z=140x+120y

（2） 在坐標平面內，作出所有約束條件的圖形，找到可行域；

（3）求解出目標函數在可行域內的最優解

易求出在x=20，y=0時，z取得最小值，此時成本最低，為z=140*20+120*0=2800元。

3 簡單的線性規劃的考察形式

簡單線性規劃的知識點，究竟它有哪些考察形式呢？下面我們就來總結一下：

3.1 與幾何意義有關的線性規劃問題

3.1.1 與斜率相關的問題

例：若x，y滿足 ，設y=kx，則k的取值范圍是__。

解：可以在坐標平面內畫出列直線：x+y=3、直線x-y+1=0與直線3x-y-5=0。設直線x+y=3與直線x-y+1=0交于點A，直線x+y=3與直線3x-y-5=0的交點為B，直線x-y+1=0與直線3x-y-5=0交點為C，則不等式所表示的區域就是？ABC所在的區域，y=kx應在直線OA與直線OB之間，易求出1/2≤k≤2

3.1.2 與距離相關的問題

例：已知實數x、y滿足2x+y≥1，求u=x^2+y^2+4x-2y的最小值。

解：注意到所求式的結構特點，可將u=x^2+y^2+4x-2y轉化為u=〖（x+2）〗^2+〖（y-1）〗^2，這就轉化成了兩點距離平方求解。u=〖（x+2）〗^2+〖（y-1）〗^2-5表示點p（x，y）與（-2，1）的距離的冪再減去5，由約束條件2x+y≥1知，點p（x，y）在2x+y=1上及右上方平面G中，于是問題轉化為求定點A（-2，1）到區域G最近距離。

由點到直線的距離公式由

3.2 與目標函數有關的最值問題

3.2.1 最優解只有一個的問題

例：若變x、y滿足的約束條件 則z=2x+y的最大值是____。

解：在坐標平面內畫出上述不等式

目標函數z的系數大于0，則上移時z的值增大，由 得A（3，5），所以Zmin=2*3+5=11

3.2.2 最優解有無數多個的問題

例：已知x、y滿足 則使目標函數z=4x+y-10取得最小值的最優解有 （ ）

A、1個 B、2個

C、3個 D、無數個

解：可行域如圖所示，由于4x+y-10=0與4x+y-4=0平行且z=4x+y-4中的y的系數大于0，向下移動時z的值減小，那么最優解就有無數個，答案選D。

3.3 含參數的線性規劃問題

例1：若A為方程組組 表示的區域，則當a從-2持續變化到1時，運動的直線x+y=a經過A表示區域的面積是____。

解：在圖中做出了y-x=2、x+y=1以及x+y=-2的圖像，可求出

結束語

在完成這篇論文的過程中，不僅讓我對簡單線性規劃這部分知識有了更深刻的了解，同時，也被先輩們不懈追求科學真理的精神所折服，下定決心做一名優秀的人名教師，把今天這些來之不易的科學成果傳遞下去。

參考文獻

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